Resolva os limites a seguir: lim x +infty 3^x-35^x-5 (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+infty3^x-35^x-5. O conteúdo aqui é limites envolvendo funções exponenciais, e vamos usar a ideia de termo dominante para resolver.

Passo 2

Para grandes valores de x, os termos constantes -3 e -5 viram ruído comparado a 3^x e 5^x. Logo, podemos escrever:
3^x - 3 = 3^xl(1 - 3cdot 3^-xr)
5^x - 5 = 5^xl(1 - 5cdot 5^-xr)

Passo 3

Fazendo a divisão e separando as potências, obtemos:
3^x - 35^x - 5 = 3^x5^x cdot 1 - 3cdot 3^-x1 - 5cdot 5^-x = l(35r)^x cdot 1 - 3cdot 3^-x1 - 5cdot 5^-x
À medida que xto+infty, temos (3/5)^xto0 porque 3/5<1, e as frações 1 - 3cdot3^-x e 1 - 5cdot5^-x tendem a 1. Portanto, o produto vai a zero.

Passo 4

Como o fator dominante é (3/5)^xto0 e o outro quociente tende a 1, concluímos que o limite é zero.

Resposta

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