Considere agora a função dada analiticamente por:
E responda:
Há pontos de descontinuidade para esta função? Quais?
Há pontos de descontinuidade para esta função? Quais?
Passo 1
Temos a função definida por
Queremos estudar a continuidade dela em todo o domínio, usando limites laterais e a definição de continuidade em um ponto.
Passo 2
Para qualquer x\neq0, f(x) é composição de funções contínuas (exponencial e função racional cujo denominador nunca se anula), logo f é contínua em todo ponto x\neq0.
Passo 3
Calculemos os limites laterais em x=0. Para x→0^+ temos 1/x→+∞, logo e^{1/x}→+∞ e
Para x→0^- temos 1/x→-∞, logo e^{1/x}→0 e
Como f(0)=0, o limite à direita coincide com f(0) mas o limite à esquerda não (1≠0), portanto f não é contínua em x=0.
Passo 4
Concluímos que o único ponto de descontinuidade dessa função é x=0.
Resposta
A função é descontínua apenas em x=0.