Considere agora a função dada analiticamente por:
y=c 11+e^1x se x neq 0 0 se x=0
E responda:
Há pontos de descontinuidade para esta função? Quais?

Passo 1

Temos a função definida por
f(x)= 11+e^1x,&xneq0, 0,&x=0
Queremos estudar a continuidade dela em todo o domínio, usando limites laterais e a definição de continuidade em um ponto.

Passo 2

Para qualquer x\neq0, f(x) é composição de funções contínuas (exponencial e função racional cujo denominador nunca se anula), logo f é contínua em todo ponto x\neq0.

Passo 3

Calculemos os limites laterais em x=0. Para x→0^+ temos 1/x→+∞, logo e^{1/x}→+∞ e
limxto0^+f(x)=limxto0^+11+e^1/x=0
Para x→0^- temos 1/x→-∞, logo e^{1/x}→0 e
limxto0^-f(x)=limxto0^-11+e^1/x=1
Como f(0)=0, o limite à direita coincide com f(0) mas o limite à esquerda não (1≠0), portanto f não é contínua em x=0.

Passo 4

Concluímos que o único ponto de descontinuidade dessa função é x=0.

Resposta

A função é descontínua apenas em x=0.

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