Considere água pressurizada escoando em um tubo com 20 mm de diâmetro.
Determine a vazão mássica, o comprimento de entrada fluidodinâmico e o comprimento de entrada térmico para a água a 300 K e a 400 K , e a uma velocidade média de 0,02 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a água escoando num tubo de diâmetro 20\\ \mathrm{mm} com velocidade média 0,02\\ \mathrm{m/s}, avaliadas para duas temperaturas ( 300\\ \mathrm{K} e 400\\ \mathrm{K}):
  • Calcular a vazão mássica \dot{m}.
  • Calcular o comprimento de entrada fluidodinâmico L_h.
  • Calcular o comprimento de entrada térmico L_t.
Dados fornecidos (diretamente do enunciado):
D = 20\\ \mathrm{mm} = 0{,}02\\ \mathrm{m},\qquad V = 0{,}02\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar propriedades típicas da água obtidas em tabelas (valores tabulados aproximados). Vou indicar explicitamente os valores usados para cada temperatura antes de calcular.

Passo 2

Fórmulas básicas e definições que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
  • Área da seção transversal do tubo: A = \frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é em \mathrm{m^{2}} e D em \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica e vazão mássica:
Q = A\,V,\qquad \dot{m}=\rho\,Q=\rho\,A\,V,
onde Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}), \dot{m} a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}) e \rho a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}).
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}). \mathrm{Re} determina se o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}\lesssim2300) ou turbulento ( \mathrm{Re}\gtrsim4000); entre esses valores é a região de transição.
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{\mu c_p}{k},
onde c_p é o calor específico a pressão constante ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). \mathrm{Pr} relaciona difusão viscosa e difusão térmica.
  • Comprimentos de entrada (formas usuais para escoamento laminar em tubo circular):
    • Comprimento de entrada hidrodinâmico (para laminar): L_h \approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D.
    • Comprimento de entrada térmico (para laminar): L_t \approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.
Estas fórmulas são aproximações clássicas usadas em prova. Se o escoamento for turbulento usa-se outra expressão (por exemplo L_h\sim10\,D), mas a escolha depende de \mathrm{Re}.

Passo 3

Calculemos primeiro algumas quantidades geométricas que valem para os dois casos:
  • Área da seção:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0001\approx 0{,}00031416\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão volumétrica:
Q=A\,V=0{,}00031416\cdot 0{,}02=6{,}2832\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Vou agora tratar separadamente os dois casos de temperatura. Em cada caso apresento os valores físicos tabulados que usei, explico por que, e calculo \dot m, \mathrm{Re}, L_h e L_t.

Passo 4

Caso: água a 300\\ \mathrm{K}.
Valores tabulados (aproximações usuais para água líquida a 300\\ \mathrm{K}; estou usando valores de tabela padrão):
\rho_{300}=996{,}5\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu_{300}=0{,}855\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
c_{p,300}=4182\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad k_{300}=0{,}613\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
(Obs.: esses valores vêm de tabelas de propriedades da água; uso-os como aproximação num problema de prova.)
  • Vazão mássica:
\dot{m}_{300}=\rho_{300} A V=996{,}5\cdot 6{,}2832\times10^{-6}=6{,}267\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.
Escrevendo com três algarismos significativos:
\dot{m}_{300}\approx 0{,}00627\\ \mathrm{kg/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}_{300}=\frac{\rho_{300} V D}{\mu_{300}}=\frac{996{,}5\cdot 0{,}02\cdot 0{,}02}{0{,}855\times10^{-3}} =\frac{0{,}3986}{0{,}000855}\approx 466.
Como \mathrm{Re}_{300}\approx 466<2300, o escoamento é laminar, então usamos as fórmulas de entrada para regime laminar.
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}_{300}=\frac{\mu_{300} c_{p,300}}{k_{300}}=\frac{0{,}855\times10^{-3}\cdot 4182}{0{,}613}\approx 5{,}84.
Interpretação rápida: \mathrm{Pr}>1 significa que a difusão de momento (viscosidade) é mais “lenta” que a difusão térmica; na prática para água \mathrm{Pr} costuma ser alguns unidades.
  • Comprimento de entrada hidrodinâmico:
L_{h,300}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}_{300}\,D=0{,}05\cdot 466\cdot 0{,}02\approx 0{,}466\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de entrada térmico:
L_{t,300}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}_{300}\,\mathrm{Pr}_{300}\,D = L_{h,300}\cdot \mathrm{Pr}_{300}\approx 0{,}466\cdot 5{,}84\approx 2{,}72\\ \mathrm{m}.
Breve comentário motivador: veja que, por ser água relativamente viscosa a 300\\ \mathrm{K}, o escoamento é laminar e o comprimento térmico é várias vezes maior que o hidrodinâmico porque \mathrm{Pr} é alto.

Passo 5

Caso: água a 400\\ \mathrm{K}.
Agora uso valores tabulados aproximados para água líquida sob pressão (valores típicos; estou indicando explicitamente as aproximações usadas):
\rho_{400}\approx 860\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu_{400}\approx 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
c_{p,400}\approx 4200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad k_{400}\approx 0{,}60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
(Obs.: a água aquecida fica menos densa e menos viscosa; esses números são aproximações que costumam aparecer em tabelas de propriedades para temperaturas elevadas e pressão suficiente para mantê-la líquida.)
  • Vazão mássica:
\dot{m}_{400}=\rho_{400} A V=860\cdot 6{,}2832\times10^{-6}=5{,}404\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s},
ou seja
\dot{m}_{400}\approx 0{,}00540\\ \mathrm{kg/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}_{400}=\frac{\rho_{400} V D}{\mu_{400}} =\frac{860\cdot 0{,}02\cdot 0{,}02}{2{,}00\times10^{-4}} =\frac{0{,}344}{2{,}00\times10^{-4}}\approx 1720.
Aqui \mathrm{Re}_{400}\approx 1720, ainda abaixo de 2300. Conclusão: com os valores tabulados escolhidos, o escoamento permanece laminar a 400\\ \mathrm{K}.
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}_{400}=\frac{\mu_{400} c_{p,400}}{k_{400}}=\frac{2{,}00\times10^{-4}\cdot 4200}{0{,}60}\approx 1{,}40.
  • Comprimento de entrada hidrodinâmico:
L_{h,400}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}_{400}\,D=0{,}05\cdot 1720\cdot 0{,}02\approx 1{,}72\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de entrada térmico:
L_{t,400}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}_{400}\,\mathrm{Pr}_{400}\,D = L_{h,400}\cdot \mathrm{Pr}_{400}\approx 1{,}72\cdot 1{,}40\approx 2{,}41\\ \mathrm{m}.
Comentário rápido: ao aquecer a água a 400\\ \mathrm{K} a viscosidade cai muito, o que aumenta \mathrm{Re} e aumenta L_h. Mas como \mathrm{Pr} diminui (a difusão térmica fica comparativamente mais rápida), o comprimento térmico não aumenta tanto — fica da mesma ordem ou um pouco maior.

Passo 6

Recapitulando as fórmulas usadas (para você levar pra prova, decoráveis e úteis):
  • \;A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • \;\dot{m}=\rho A V.
  • \;\mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}.
  • \;\mathrm{Pr}=\dfrac{\mu c_p}{k}.
  • Para escoamento laminar: \;L_h\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D e \;L_t\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.
Dica de prova: calcule sempre primeiro \mathrm{Re} para saber se usa fórmula laminar ou turbulenta; anote as unidades e trabalhe com metros e segundos; imprima os valores tabulados que usar para justificar (o professor costuma aceitar se você declarar quais tabelas adotou).

Resposta

\text{Para }300\\ \mathrm{K}:\\ \dot{m}=0{,}00627\\ \mathrm{kg/s},\\ L_{h}=0{,}466\\ \mathrm{m},\\ L_{t}=2{,}72\\ \mathrm{m}\n
\text{Para }400\\ \mathrm{K}:\\ \dot{m}=0{,}00540\\ \mathrm{kg/s},\\ L_{h}=1{,}72\\ \mathrm{m},\\ L_{t}=2{,}41\\ \mathrm{m}

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