Propano gasoso a
é comprimido isotermicamente de uma pressão inicial de 1 bar até a pressão final de 10 bar. Determine a variação e entropia e de entalpia na situação real.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo:
- Dado: gás propano comprimido isotermicamente a
(ou seja, ). - Processo: pressão inicial
e pressão final , compressão isotérmica. - Pedidos:
- Determinar a variação de entropia (molar) durante essa compressão real.
- Determinar a variação de entalpia (molar) durante essa compressão real.
Observações que eu adotei sem te perguntar (porque você pediu uma resolução direta): vou apresentar as fórmulas gerais para o caso real (não ideal) e também calcular o valor numérico no caso ideal por mol (
), já que o enunciado não especificou a quantidade de substância. Se você quiser o valor para outra quantidade, multiplica pelo número de mols.
Passo 2
Conceito e fórmula geral para a variação de entropia em um processo isotérmico para gás real.
- Lembra que um diferencial útil é a relação de Maxwell
Essa relação vem das equações de estado e das relações de Maxwell (não precisa decorar, só saber que é uma forma direta de ligar entropia e volume). - Para uma variação de pressão a temperatura constante, a variação molar de entropia é
onde é o volume molar. Esta é a expressão exata válida para gás real. Explico: o sinal negativo aparece porque aumentar a fixa tende a reduzir entropia (mais comprimido).
Passo 3
Conceito e fórmula geral para a variação de entalpia em um processo isotérmico para gás real.
- A diferencial molar de entalpia pode ser escrita como
- Mantendo
constante e integrando entre e , obtemos - Substituindo a relação de Maxwell
, tem-se a forma conveniente Essa é a expressão exata (molar) para a variação de entalpia entre dois estados isotermais de um gás real.
Passo 4
Expressão das integrais em termos do fator de compressibilidade
(forma prática para gás real).
- Definimos o fator de compressibilidade molar
por onde é a constante universal dos gases ( ) e é constante aqui. - Diferenciando
em relação a a pressão fixa: - Substituindo nas fórmulas do Passo 2 e Passo 3:
- Para a entropia molar,
- Para a entalpia molar,
Simplificando dentro da integral: Observação: essa forma é útil porque mostra que a contribuição à variação de entalpia depende apenas de (ou seja, de como o comportamento não-ideal muda com ). Para um gás ideal e , recuperamos .
- Para a entropia molar,
Passo 5
O que é preciso para calcular numericamente as integrais (caso real) e qual aproximação usar aqui.
- Para avaliar exatamente as integrais do Passo 4 precisamos de
ou de uma equação de estado (por exemplo Peng–Robinson, Soave–Redlich–Kwong, ou tabelas/propiedades do propano) que nos dê como função de a . - Sem essa curva
ou sem um EOS e sem tabelas, não é possível obter o valor numérico exato da situação “real”. Não inventarei números de . - Entretanto, uma aproximação simples (muito usada em provas quando não dão dados de não idealidade) é tratar o gás como ideal. Vou fazer isso para te dar um número concreto e te mostrar o cálculo passo a passo; depois comento qualitativamente o efeito da não idealidade.
Passo 6
Cálculo no modelo de gás ideal (aplicável como aproximação quando não há dados reais). Aqui
e
.
- Pela fórmula do Passo 2, para gás ideal a variação molar de entropia entre pressões a temperatura constante é
Substituindo , Agora calcule numericamente por mol:
Interpretação: a entropia diminui (sinal negativo) porque comprimimos o gás isotermicamente.
- Pela fórmula do Passo 3, para gás ideal
porque entalpia molar de gás ideal depende só da temperatura: , e aqui é constante. Então
Passo 7
Comentário didático sobre a diferença entre o resultado ideal e o real e como proceder se você quiser a resposta “real” com precisão.
- Se quiser o valor “real” correto (não ideal) é necessário um EOS ou tabelas de propriedades do propano a
. Procedimento prático: - Obter
ou a fixo (pelo EOS ou por dados experimentais) no intervalo até . - Avaliar numericamente a integral
ou, mais convenientemente com , - Avaliar
- Integrar numericamente (por trapézio, Simpson, ou pela forma analítica do EOS).
- Obter
- Qual é a ordem de grandeza do efeito real? Para propano a
(perto do ) e até , as não-idealidades podem não ser totalmente desprezíveis — ou seja, o valor real pode diferir do resultado ideal por uma fração que pode ser alguns por cento ou mais. Por isso, se a prova exigir precisão real, provavelmente te darão um EOS ou dados de .