2 PROBLEMA 2

Um jato de água de 10 cm sai de um tanque de 1,0 \mathrm{~m} de diâmetro. Assuma que a equação de Bernoulli se aplica, de modo que a velocidade no jato é \sqrt{2 g h} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, onde h é a elevação da superfície da água acima do jato de saída. Quanto tempo levará para a superfície da água no tanque cair de h_{0}=2 m para h_{f}=0,50 m ?

Passo 1

O enunciado pede o tempo que um tanque de seção transversal uniforme despeja água por um orifício de diâmetro menor, fazendo a lâmina de água cair de h_{0}=2\,\text{m} a h_{f}=0{,}50\,\text{m}. O conteúdo é aplicação da equação de Bernoulli (Torricelli) para obter a velocidade do jato e da conservação de massa (continuidade) para relacionar a variação de volume com a vazão.

Passo 2

Vamos identificar as áreas do tanque e do orifício:
– Seção do tanque: diâmetro D=1{,}0\,\text{m},
A_{t} = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (1{,}0)^{2}}{4} = \frac{\pi}{4}\,\text{m}^{2}.
– Seção do orifício (jato): diâmetro d=0{,}10\,\text{m},
A_{e} = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}10)^{2}}{4} = \frac{\pi}{400}\,\text{m}^{2}.

Passo 3

Pela equação de continuidade, a vazão de saída é
Q = A_{e}\,v \quad\text{com}\quad v = \sqrt{2gh}.
Como o volume no tanque é V=A_{t}\,h, temos
\frac{dV}{dt} = A_{t}\,\frac{dh}{dt} = -\,Q = -\,A_{e}\,\sqrt{2g\,h}.
Logo a equação diferencial para h(t) é
A_{t}\,\frac{dh}{dt} = -\,A_{e}\,\sqrt{2g\,h}.

Passo 4

Separamos as variáveis para integrar:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\,\frac{A_{e}}{A_{t}}\,\sqrt{2g}\;dt.
Integramos de h_{0} até h_{f} e de t=0 até t=T:
\int_{h_{0}}^{h_{f}}\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\,\frac{A_{e}}{A_{t}}\sqrt{2g}\,\int_{0}^{T}dt.

Passo 5

A integral à esquerda é
\int_{h_{0}}^{h_{f}}\frac{dh}{\sqrt{h}} = 2\bigl(\sqrt{h_{f}} - \sqrt{h_{0}}\bigr),
logo
2\bigl(\sqrt{h_{f}} - \sqrt{h_{0}}\bigr) = -\,\frac{A_{e}}{A_{t}}\sqrt{2g}\;T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2A_{t}}{A_{e}\sqrt{2g}}\, \bigl(\sqrt{h_{0}} - \sqrt{h_{f}}\bigr).

Passo 6

Substituindo A_{t}/A_{e}=(\pi/4)/(\pi/400)=100 e g=9{,}81\,\text{m/s}^{2}:
T = \frac{2\cdot100}{\sqrt{2\cdot9{,}81}}\, \bigl(\sqrt{2} - \sqrt{0{,}50}\bigr) \approx \frac{200}{\sqrt{19{,}62}}\,(1{,}4142 - 0{,}7071) \approx \frac{200}{4{,}429}\cdot0{,}7071 \approx31{,}9\,\text{s}.

Resposta

O tempo de escoamento é aproximadamente 31{,}9 segundos.

Exercícios relacionados