O seguinte experimento foi realizado: joga-se uma moeda com probabilidade
de cara e um dado equilibrado ao mesmo tempo. Defina a variável aleatória
por
Determine função massa de probabilidade de
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um experimento onde lançamos uma moeda e um dado ao mesmo tempo. A moeda tem uma chance de cair cara igual a
(entre 0 e 1). A variável aleatória
depende do resultado da moeda:
- Se der cara,
é o resultado do dado. - Se der coroa,
é o resultado do dado mais 2.
Vamos usar conceitos de função massa de probabilidade (FMP) para descobrir as probabilidades de cada valor que
pode assumir. Precisamos saber como combinar as probabilidades da moeda com as do dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis valores que
pode ter. O dado tem resultados de 1 a 6.
- Se der cara,
pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. - Se der coroa,
será o resultado do dado mais 2, ou seja, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8.
Então, os possíveis valores de
são de 1 a 8.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
. Para isso, vamos considerar separadamente as duas situações: quando a moeda dá cara e quando dá coroa.
- Probabilidade de dar cara:
- Probabilidade de dar coroa:
- Probabilidade de cada resultado no dado:
(já que é equilibrado)
Passo 4
Vamos começar calculando as probabilidades quando der cara:
- P(X = 1) =
- P(X = 2) =
- P(X = 3) =
- P(X = 4) =
- P(X = 5) =
- P(X = 6) =
Passo 5
Agora, vamos ver quando der coroa:
- P(X = 3) =
- P(X = 4) =
- P(X = 5) =
- P(X = 6) =
- P(X = 7) =
- P(X = 8) =
Passo 6
Agora, vamos juntar essas probabilidades para cada valor de
:
-
Para X = 1 e X = 2: só pode acontecer se der cara.
- P(X = 1) = P(X = 2) =
- P(X = 1) = P(X = 2) =
-
Para X = 3, 4, 5 e 6: pode acontecer tanto se der cara quanto coroa.
- P(X = x) =
- P(X = x) =
-
Para X = 7 e X = 8: só pode acontecer se der coroa.
- P(X = 7) = P(X = 8) =
- P(X = 7) = P(X = 8) =
Resposta
A função massa de probabilidade de
é: