O seguinte experimento foi realizado: joga-se uma moeda com probabilidade alpha in(0,1) de cara e um dado equilibrado ao mesmo tempo. Defina a variável aleatória X por
X=cc resu
Determine função massa de probabilidade de X.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um experimento onde lançamos uma moeda e um dado ao mesmo tempo. A moeda tem uma chance de cair cara igual a alpha (entre 0 e 1). A variável aleatória X depende do resultado da moeda:
  • Se der cara, X é o resultado do dado.
  • Se der coroa, X é o resultado do dado mais 2.
Vamos usar conceitos de função massa de probabilidade (FMP) para descobrir as probabilidades de cada valor que X pode assumir. Precisamos saber como combinar as probabilidades da moeda com as do dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis valores que X pode ter. O dado tem resultados de 1 a 6.
  • Se der cara, X pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
  • Se der coroa, X será o resultado do dado mais 2, ou seja, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8.
Então, os possíveis valores de X são de 1 a 8.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de X. Para isso, vamos considerar separadamente as duas situações: quando a moeda dá cara e quando dá coroa.
  • Probabilidade de dar cara: alpha
  • Probabilidade de dar coroa: 1 - alpha
  • Probabilidade de cada resultado no dado: 16 (já que é equilibrado)

Passo 4

Vamos começar calculando as probabilidades quando der cara:
  • P(X = 1) = alpha times 16
  • P(X = 2) = alpha times 16
  • P(X = 3) = alpha times 16
  • P(X = 4) = alpha times 16
  • P(X = 5) = alpha times 16
  • P(X = 6) = alpha times 16

Passo 5

Agora, vamos ver quando der coroa:
  • P(X = 3) = (1 - alpha) times 16
  • P(X = 4) = (1 - alpha) times 16
  • P(X = 5) = (1 - alpha) times 16
  • P(X = 6) = (1 - alpha) times 16
  • P(X = 7) = (1 - alpha) times 16
  • P(X = 8) = (1 - alpha) times 16

Passo 6

Agora, vamos juntar essas probabilidades para cada valor de X:
  • Para X = 1 e X = 2: só pode acontecer se der cara.
    • P(X = 1) = P(X = 2) = alpha times 16
  • Para X = 3, 4, 5 e 6: pode acontecer tanto se der cara quanto coroa.
    • P(X = x) = alpha times 16 + (1 - alpha) times 16 = 16
  • Para X = 7 e X = 8: só pode acontecer se der coroa.
    • P(X = 7) = P(X = 8) = (1 - alpha) times 16

Resposta

A função massa de probabilidade de X é:
P(X = x) = alpha6, & se x = 1 ou x = 2 16, & se x = 3, 4, 5 ou 6 1 - alpha6, & se x = 7 ou x = 8 0, & caso contrário á

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