Considere o algoritmo iterativo para aproximação de \sqrt{p}, com p>1 :
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right)
Trabalhando com 8 dígitos após o ponto decimal resolva:
(a) Use p=5 e x_{0}=2.
(b) Calcule x_{1}, x_{2} e x_{3}.
(c) Compare o valor obtido com \sqrt{5} e calcule o erro absoluto em cada iteração.
(d) O método parece convergir? Justifique com base nos resultados.

Passo 1

O enunciado dá o método iterativo
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right),
com p>1. Pede:
(a) trabalhar com p=5 e x_{0}=2;
(b) calcular x_{1},x_{2},x_{3} trabalhando com 8 dígitos após o ponto decimal (ou seja, arredondando cada iteração para 8 casas decimais antes de usar no passo seguinte);
(c) comparar cada x_{n} com \sqrt{5} e calcular o erro absoluto em cada iteração;
(d) decidir se o método parece convergir e justificar com base nos resultados.
Informação relevante que temos: p=5 e x_{0}=2. Vou arredondar cada x_{n} para 8 casas decimais antes de obter x_{n+1}, conforme pedido.

Passo 2

Breve aula sobre de onde vem essa fórmula (para você entender na prova).
  • Considere f(x)=x^{2}-p. Queremos a raiz positiva s=\sqrt{p}.
  • O método de Newton-Raphson para f dá a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-p}{2x_{n}}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right).
  • Aqui x_{n} é a aproximação atual, p é o número cujo raiz quadrada queremos, e x_{n+1} é a nova aproximação. Esse método costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial não é ruim.
  • Também é útil saber a relação de erro: se s=\sqrt{p} e e_{n}=x_{n}-s, então
e_{n+1}=\frac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}.
Isto mostra que, para x_{n} próximo de s, temos e_{n+1}\approx\frac{e_{n}^{2}}{2s} — o que indica convergência quadrática (o erro ao quadrado aparece), explicando a rapidez da convergência.

Passo 3

Calcular x_{1} a partir de x_{0}=2.
Usando a fórmula:
x_{1}=\frac{1}{2}\left(2+\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(2+2{,}5\right)=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25.
Arredondando para 8 casas decimais (colocando zeros se necessário):
x_{1}=2{,}25000000.

Passo 4

Calcular x_{2} a partir de x_{1}=2{,}25000000.
Primeiro calcule \dfrac{5}{2{,}25}=\dfrac{5}{9/4}=\dfrac{20}{9}=2{,}22222222\ldots. Então
x_{2}=\frac{1}{2}\left(2{,}25+\frac{20}{9}\right)=\frac{1}{2}\left(2{,}25+2{,}22222222\ldots\right)=\frac{161}{72}=2{,}236111111\ldots
Arredondando para 8 casas decimais:
x_{2}=2{,}23611111.

Passo 5

Calcular x_{3} a partir de x_{2}=2{,}23611111 (usando esse valor arredondado).
Calcule \dfrac{5}{2{,}23611111}. Fazendo a divisão com precisão suficiente (ou usando aproximação controlada), obtém-se
\frac{5}{2{,}23611111}\approx 2{,}2360248675\ldots
Agora
x_{3}=\frac{1}{2}\left(2{,}23611111+2{,}2360248675\ldots\right)\approx\frac{4{,}4721359775\ldots}{2}=2{,}23606798875\ldots
Arredondando para 8 casas decimais:
x_{3}=2{,}23606799.

Passo 6

Valor de referência de \sqrt{5}. Uma representação bastante precisa é
\sqrt{5}=2{,}23606797749979\ldots
Arredondando para 8 casas decimais:
\sqrt{5}\approx 2{,}23606798.

Passo 7

Calcular os erros absolutos em cada iteração. Uso \text{erro}_n=|x_{n}-\sqrt{5}|, com \sqrt{5} tomado na forma precisa acima e depois arredondando o resultado para 8 casas decimais.
  • Para x_{0}=2{,}00000000:
\text{erro}_{0}=|2{,}00000000-2{,}23606797749979\ldots|=0{,}23606797749979\ldots
Arredondando a 8 casas:
\text{erro}_{0}=0{,}23606798.
  • Para x_{1}=2{,}25000000:
\text{erro}_{1}=|2{,}25000000-2{,}23606797749979\ldots|=0{,}01393202250021\ldots
Arredondando:
\text{erro}_{1}=0{,}01393202.
  • Para x_{2}=2{,}23611111:
\text{erro}_{2}=|2{,}23611111-2{,}23606797749979\ldots|=0{,}00004313250021\ldots
Arredondando:
\text{erro}_{2}=0{,}00004313.
  • Para x_{3}=2{,}23606799:
\text{erro}_{3}=|2{,}23606799-2{,}23606797749979\ldots|=0{,}00000001250021\ldots
Arredondando a 8 casas:
\text{erro}_{3}=0{,}00000001.

Passo 8

Conclusão sobre convergência (didática e justificativa).
  • Observação numérica: os erros caem muito rápido: de 0{,}23606798 para 0{,}01393202 para 0{,}00004313 para 0{,}00000001. Isso mostra que as aproximações ficam muito próximas de \sqrt{5} em poucas iterações.
  • Razão teórica: da relação de erro já vista,
e_{n+1}=\frac{e_{n}^{2}}{2x_{n}},
vemos que, quando x_{n} já está próximo de s=\sqrt{5}, o denominador é aproximadamente 2s e o erro seguinte é (aproximadamente) proporcional ao quadrado do erro atual: e_{n+1}\approx \dfrac{e_{n}^{2}}{2s}. Isso é a convergência quadrática: o número de casas corretas dobra aproximadamente a cada iteração (após estar suficientemente próximo). Os números calculados confirmam isso. Portanto o método converge (aqui convergiu rapidamente para \sqrt{5}).

Resposta

(a) p=5,\;x_{0}=2.
(b) x_{1}=2{,}25000000
x_{2}=2{,}23611111
x_{3}=2{,}23606799
(c) \sqrt{5}\approx 2{,}23606797749979\ldots (arredondado a 8 casas: 2{,}23606798)
\text{erro}_{0}=0{,}23606798
\text{erro}_{1}=0{,}01393202
\text{erro}_{2}=0{,}00004313
\text{erro}_{3}=0{,}00000001
(d) Sim. O método converge rapidamente (convergência quadrática), como mostram a forte redução dos erros a cada iteração e a relação teórica e_{n+1}=\dfrac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}.

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