Considere o algoritmo iterativo para aproximação de
, com
:
Trabalhando com 8 dígitos após o ponto decimal resolva:
(a) Use
e
.
(b) Calcule
e
.
(c) Compare o valor obtido com
e calcule o erro absoluto em cada iteração.
(d) O método parece convergir? Justifique com base nos resultados.
(a) Use
(b) Calcule
(c) Compare o valor obtido com
(d) O método parece convergir? Justifique com base nos resultados.
Passo 1
O enunciado dá o método iterativo
com
. Pede:
(a) trabalhar com e
;
(b) calcular trabalhando com 8 dígitos após o ponto decimal (ou seja, arredondando cada iteração para 8 casas decimais antes de usar no passo seguinte);
(c) comparar cada com
e calcular o erro absoluto em cada iteração;
(d) decidir se o método parece convergir e justificar com base nos resultados.
Informação relevante que temos: e
. Vou arredondar cada
para 8 casas decimais antes de obter
, conforme pedido.
(a) trabalhar com
(b) calcular
(c) comparar cada
(d) decidir se o método parece convergir e justificar com base nos resultados.
Informação relevante que temos:
Passo 2
Breve aula sobre de onde vem essa fórmula (para você entender na prova).
- Considere
. Queremos a raiz positiva . - O método de Newton-Raphson para
dá a iteração
- Aqui
é a aproximação atual, é o número cujo raiz quadrada queremos, e é a nova aproximação. Esse método costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial não é ruim. - Também é útil saber a relação de erro: se
e , então
Isto mostra que, para
próximo de
, temos
— o que indica convergência quadrática (o erro ao quadrado aparece), explicando a rapidez da convergência.
Passo 3
Calcular
a partir de
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Arredondando para 8 casas decimais (colocando zeros se necessário):
Passo 4
Calcular
a partir de
.
Primeiro calcule . Então
Primeiro calcule
Arredondando para 8 casas decimais:
Passo 5
Calcular
a partir de
(usando esse valor arredondado).
Calcule . Fazendo a divisão com precisão suficiente (ou usando aproximação controlada), obtém-se
Calcule
Agora
Arredondando para 8 casas decimais:
Passo 6
Valor de referência de
. Uma representação bastante precisa é
Arredondando para 8 casas decimais:
Passo 7
Calcular os erros absolutos em cada iteração. Uso
, com
tomado na forma precisa acima e depois arredondando o resultado para 8 casas decimais.
- Para
:
Arredondando a 8 casas:
- Para
:
Arredondando:
- Para
:
Arredondando:
- Para
:
Arredondando a 8 casas:
Passo 8
Conclusão sobre convergência (didática e justificativa).
- Observação numérica: os erros caem muito rápido: de
para para para . Isso mostra que as aproximações ficam muito próximas de em poucas iterações. - Razão teórica: da relação de erro já vista,
vemos que, quando
já está próximo de
, o denominador é aproximadamente
e o erro seguinte é (aproximadamente) proporcional ao quadrado do erro atual:
. Isso é a convergência quadrática: o número de casas corretas dobra aproximadamente a cada iteração (após estar suficientemente próximo). Os números calculados confirmam isso. Portanto o método converge (aqui convergiu rapidamente para
).
Resposta
(a)
.
(b)
(c)
(arredondado a 8 casas:
)
(d) Sim. O método converge rapidamente (convergência quadrática), como mostram a forte redução dos erros a cada iteração e a relação teórica
.