Considere o mesmo algoritmo para aproximação de \sqrt{p} :
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right)
(a) Mostre que, se x_{n}>0, então x_{n+1}>0.
(b) Seja p=10 e x_{0}=3. Calcule as quatro primeiras iterações.
(c) Determine um critério de parada baseado no erro relativo:
\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<10^{-5}
(d) Encontre uma aproximação de \sqrt{10} que satisfaça esse critério.
(e) Explique por que esse método é considerado de convergência rápida.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O algoritmo dado é
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right).
  • Pressupõe-se que p>0 (pois estamos aproximando \sqrt{p}) e temos uma condição inicial x_{0} (no item (b) foi dado x_{0}=3 e p=10).
O enunciado pergunta:
(a) mostrar que, se x_{n}>0, então x_{n+1}>0;
(b) com p=10 e x_{0}=3, calcular as quatro primeiras iterações x_{1},x_{2},x_{3},x_{4};
(c) apresentar um critério de parada baseado no erro relativo
\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<10^{-5};
(d) usar esse critério para obter uma aproximação de \sqrt{10};
(e) explicar por que o método é de convergência rápida.

Passo 2

(a) Demonstração da positividade de x_{n+1}.
  • Hipótese: suponha p>0 e x_{n}>0.
  • Observe que \dfrac{p}{x_{n}}>0 porque p>0 e x_{n}>0.
  • Então x_{n}+\dfrac{p}{x_{n}}>0 (soma de dois números positivos).
  • Finalmente,
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{p}{x_{n}}\right)
é metade de um número positivo, logo x_{n+1}>0.
Resposta do item (a): se x_{n}>0 então x_{n+1}>0.

Passo 3

(b) Cálculo das quatro primeiras iterações para p=10 e x_{0}=3.
Vou calcular passo a passo, mostrando frações exatas quando possível para ficar claro como executar na prova sem calculadora.
  • Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{1}{2}\left(x_{0}+\frac{10}{x_{0}}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{10}{3}\right).
Colocando na mesma fração:
3+\frac{10}{3}=\frac{9+10}{3}=\frac{19}{3},
logo
x_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{19}{3}=\frac{19}{6}\approx 3,166666666666667.
  • Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{6}+\frac{10}{19/6}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{6}+\frac{60}{19}\right).
Para somar, tomo denominador comum 6\cdot 19=114:
\frac{19}{6}=\frac{361}{114},\qquad \frac{60}{19}=\frac{360}{114},
logo a soma é \dfrac{721}{114} e
x_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{721}{114}=\frac{721}{228}\approx 3,162280701754386.
  • Cálculo de x_{3}:
x_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{721}{228}+\frac{10}{721/228}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{721}{228}+\frac{2280}{721}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador 228\cdot 721=164388:
\frac{721}{228}=\frac{721^2}{164388}=\frac{519841}{164388},\qquad \frac{2280}{721}=\frac{228\cdot 2280}{164388}=\frac{519840}{164388}.
A soma é \dfrac{1039681}{164388} e dividindo por 2:
x_{3}=\frac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383.
  • Cálculo de x_{4} (agora uso a forma decimal para simplificar a escrita, mantendo boa precisão):
x_{4}=\frac{1}{2}\left(x_{3}+\frac{10}{x_{3}}\right)\approx \frac{1}{2}\bigl(3,162279180961383+\frac{10}{3,162279180961383}\bigr).
Calculando numericamente dá
x_{4}\approx 3,162278420564881.
Esses são os quatro primeiros termos: x_{1}=\dfrac{19}{6}, x_{2}=\dfrac{721}{228}, x_{3}=\dfrac{1039681}{328776}, x_{4}\approx 3,162278420564881.

Passo 4

(c) Critério de parada baseado no erro relativo.
O critério pedido já está dado na forma conveniente para implementar num algoritmo:
  • Parar no menor índice n tal que
\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<10^{-5}.
Interpretação prática: a cada iteração calcular a razão acima; quando ela ficar menor que 10^{-5} a aproximação x_{n+1} é suficientemente precisa segundo esse critério.

Passo 5

(d) Aplicação do critério aos iterados calculados e determinação da aproximação de \sqrt{10}.
Vamos verificar as razões relativas nas primeiras iterações (usar valores decimais já computados):
  • Para n=0 (comparando x_{1} com x_{0}):
\frac{|x_{1}-x_{0}|}{|x_{1}|}=\frac{\left|\tfrac{19}{6}-3\right|}{\tfrac{19}{6}}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{19}{6}}=\frac{1}{19}\approx 0,052631\;>\;10^{-5}.
  • Para n=1 (comparando x_{2} com x_{1}):
\frac{|x_{2}-x_{1}|}{|x_{2}|}\approx\frac{|3,162280701754386-3,166666666666667|}{3,162280701754386}\approx 0,001386\;>\;10^{-5}.
  • Para n=2 (comparando x_{3} com x_{2}):
\frac{|x_{3}-x_{2}|}{|x_{3}|}\approx\frac{|3,162279180961383-3,162280701754386|}{3,162279180961383}\approx 4{,}81\times 10^{-7}\;<\;10^{-5}.
Portanto o critério é satisfeito já para n=2, ou seja, ao calcular x_{3} encontramos
x_{3}=\frac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383
que serve como aproximação de \sqrt{10} segundo o critério pedido.

Passo 6

(e) Por que o método converge rapidamente (explicação didática).
  • Denote s=\sqrt{p} (a raiz verdadeira) e o erro em iteração n por e_{n}=x_{n}-s.
  • Substituindo p=s^{2} na fórmula da iteração e fazendo contas:
x_{n+1}-s=\frac{1}{2}\Bigl(x_{n}+\frac{s^{2}}{x_{n}}\Bigr)-s =\frac{1}{2}\cdot\frac{(x_{n}-s)^{2}}{x_{n}} =\frac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}.
  • Assim obtemos a relação exata
e_{n+1}=\frac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}.
  • Quando x_{n} está próximo de s, o denominador 2x_{n} é aproximadamente 2s, logo
e_{n+1}\approx\frac{1}{2s}\,e_{n}^{2}.
Isto mostra que o erro na próxima iteração é proporcional ao quadrado do erro atual: essa é a definição de convergência quadrática. Na prática, se e_{n} tem aproximadamente k casas corretas, e_{n+1} terá aproximadamente 2k casas corretas — por isso o método é considerado de convergência rápida.
  • Exemplo numérico rápido com nossos valores: e_{1}\approx 0{,}004389. Então e_{1}^{2}/(2s)\approx 3{,}04\times 10^{-6}, que coincide com e_{2} que encontramos numericamente (aproximadamente 3{,}04\times 10^{-6}). Isso ilustra a quadratura do erro e a rapidez da convergência.

Resposta

(a) Se x_{n}>0 então x_{n+1}>0.
(b) x_{1}=\dfrac{19}{6}\approx 3,166666666666667,\quad x_{2}=\dfrac{721}{228}\approx 3,162280701754386,\quad x_{3}=\dfrac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383,\quad x_{4}\approx 3,162278420564881.
(c) Parar no menor n tal que \displaystyle\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<10^{-5}.
(d) Aproximação obtida pelo critério: x_{3}=\dfrac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383.
(e) Porque o método tem convergência quadrática: e_{n+1}=\dfrac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}, logo o erro aprox. se comporta como e_{n+1}\approx\frac{1}{2s}e_{n}^{2} (com s=\sqrt{p}), o que duplica aproximadamente o número de dígitos corretos a cada iteração.

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