(a) Mostre que, se x_{n}>0, então x_{n+1}>0.
(b) Seja p=10 e x_{0}=3. Calcule as quatro primeiras iterações.
(c) Determine um critério de parada baseado no erro relativo:
Pressupõe-se que p>0 (pois estamos aproximando \sqrt{p}) e temos uma condição inicial x_{0} (no item (b) foi dado x_{0}=3 e p=10).
O enunciado pergunta:
(a) mostrar que, se x_{n}>0, então x_{n+1}>0;
(b) com p=10 e x_{0}=3, calcular as quatro primeiras iterações x_{1},x_{2},x_{3},x_{4};
(c) apresentar um critério de parada baseado no erro relativo
Interpretação prática: a cada iteração calcular a razão acima; quando ela ficar menor que 10^{-5} a aproximação x_{n+1} é suficientemente precisa segundo esse critério.
Passo 5
(d) Aplicação do critério aos iterados calculados e determinação da aproximação de \sqrt{10}.
Vamos verificar as razões relativas nas primeiras iterações (usar valores decimais já computados):
Quando x_{n} está próximo de s, o denominador 2x_{n} é aproximadamente 2s, logo
e_{n+1}\approx\frac{1}{2s}\,e_{n}^{2}.
Isto mostra que o erro na próxima iteração é proporcional ao quadrado do erro atual: essa é a definição de convergência quadrática. Na prática, se e_{n} tem aproximadamente k casas corretas, e_{n+1} terá aproximadamente 2k casas corretas — por isso o método é considerado de convergência rápida.
Exemplo numérico rápido com nossos valores: e_{1}\approx 0{,}004389. Então e_{1}^{2}/(2s)\approx 3{,}04\times 10^{-6}, que coincide com e_{2} que encontramos numericamente (aproximadamente 3{,}04\times 10^{-6}). Isso ilustra a quadratura do erro e a rapidez da convergência.
Resposta
(a) Se x_{n}>0 então x_{n+1}>0.
(b) x_{1}=\dfrac{19}{6}\approx 3,166666666666667,\quad x_{2}=\dfrac{721}{228}\approx 3,162280701754386,\quad x_{3}=\dfrac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383,\quad x_{4}\approx 3,162278420564881.
(c) Parar no menor n tal que \displaystyle\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<10^{-5}.
(d) Aproximação obtida pelo critério: x_{3}=\dfrac{1039681}{328776}\approx 3,162279180961383.
(e) Porque o método tem convergência quadrática: e_{n+1}=\dfrac{e_{n}^{2}}{2x_{n}}, logo o erro aprox. se comporta como e_{n+1}\approx\frac{1}{2s}e_{n}^{2} (com s=\sqrt{p}), o que duplica aproximadamente o número de dígitos corretos a cada iteração.