(d) Se possível, determine uma base de cujos elementos são autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por
O que a gente precisa descobrir aqui é se existe uma base de formada por autovetores de . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números tais que existe um vetor não nulo que satisfaz . Para achar esses , a gente resolve o determinante da matriz igual a zero, ou seja:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Agora que temos os autovalores 1 & -1 & 1 7 & -7 & 1 6 & -6 & 0 x y z = 0 0 0 e 7 & -1 & 1 7 & -1 & 1 6 & -6 & 6 x y z = 0 0 0 , vamos achar os autovetores correspondentes a cada um.
Para :
Resolvemos :
[
]
Simplificando, descobrimos que os autovetores são todos múltiplos de .
Para :
Resolvemos :
[
]
Aqui, os autovetores são combinações lineares de e .
Passo 5
Agora, vamos verificar se temos uma base composta por esses autovetores. Temos três vetores:
Esses vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Assim, eles formam uma base de .
Resposta
Sim, uma base beta = , (1, 1, 0), (1, 7, 0), (0, 1, 1) , de composta por autovetores de é: