Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
(d) Se possível, determine uma base beta de R^3 cujos elementos são autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T(x, y, z) = (3x - y + z, 7x - 5y + z, 6x - 6y + 2z) definido por
O que a gente precisa descobrir aqui é se existe uma base de formada por autovetores de . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores na matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Autovalores são números T - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda tais que existe um vetor não nulo que satisfaz . Para achar esses , a gente resolve o determinante da matriz igual a zero, ou seja:
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante de det(T - lambda I) = (3-lambda)[(-5-lambda)(2-lambda) - (-6)(1)] - (-1)[7(2-lambda) - 6(1)] + 1[7(-6) - (-5-lambda)(6)] :
lambda^3 - 12lambda + 16 = 0
Simplificando isso, chegamos à equação cúbica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Agora que temos os autovalores 1 & -1 & 1 7 & -7 & 1 6 & -6 & 0 x y z = 0 0 0 e 7 & -1 & 1 7 & -1 & 1 6 & -6 & 6 x y z = 0 0 0 , vamos achar os autovetores correspondentes a cada um.

Para :
Resolvemos :
[


]
Simplificando, descobrimos que os autovetores são todos múltiplos de .

Para :
Resolvemos :
[


]
Aqui, os autovetores são combinações lineares de e .

Passo 5

Agora, vamos verificar se temos uma base composta por esses autovetores. Temos três vetores:
Esses vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Assim, eles formam uma base de .

Resposta

Sim, uma base beta = , (1, 1, 0), (1, 7, 0), (0, 1, 1) , de composta por autovetores de é:

Exercícios relacionados