Considere
e
bases de
. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
:
A pergunta é: encontrar a matriz
, ou seja, a matriz da transformação identidade
quando os vetores de entrada são expressos na base
e os vetores de saída são expressos na base
.
Passo 2
Vamos clarear o que
representa e como calculá‑la.
Isto implica que as colunas de
são justamente as coordenadas, na base
, dos vetores da base
. Em notação:
onde
e
, e cada
é o vetor de coordenadas de
na base
.
Passo 3
Calcular as coordenadas de
Escrevendo pelas componentes obtemos o sistema
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Logo as coordenadas de
são
Passo 4
Calcular as coordenadas de
na base
. Procuramos
tais que
Pelas componentes:
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira:
Portanto
Passo 5
Formamos
juntando as coordenadas encontradas como colunas, na ordem dos vetores de
:
Passo 6
Checagem rápida (exemplo): tome
. Então
.
Calculando :
Calculando
Isso significa que
tem coordenadas
na base
, ou seja
. Pela soma direta
, a verificação bate, mostrando que a matriz está correta.]