Considere \alpha=\{(2,1),(1,2)\} e \beta=(1,0),(2,2) bases de \mathbb{R}^{2}. Encontre [I]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2:
\alpha=\{(2,1),(1,2)\}, \qquad \beta=\{(1,0),(2,2)\}.
A pergunta é: encontrar a matriz [I]_{\alpha}^{\beta}, ou seja, a matriz da transformação identidade I:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 quando os vetores de entrada são expressos na base \alpha e os vetores de saída são expressos na base \beta.

Passo 2

Vamos clarear o que [I]_{\alpha}^{\beta} representa e como calculá‑la.
\text{Para todo }v\in\mathbb{R}^2:\qquad [v]_{\beta}=[I]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\alpha}.
Isto implica que as colunas de [I]_{\alpha}^{\beta} são justamente as coordenadas, na base \beta, dos vetores da base \alpha. Em notação:
[I]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix} [\alpha_1]_{\beta} & [\alpha_2]_{\beta} \end{pmatrix},
onde \alpha_1=(2,1) e \alpha_2=(1,2), e cada [\alpha_j]_{\beta} é o vetor de coordenadas de \alpha_j na base \beta.

Passo 3

Calcular as coordenadas de \alpha_1=(2,1)\) na base \(\beta\). Procuramos escalares \(c_1,c_2\) tais que \[(2,1)=c_1(1,0)+c_2(2,2).
Escrevendo pelas componentes obtemos o sistema
\begin{cases} 2 = c_1 + 2c_2,\\[4pt] 1 = 0\cdot c_1 + 2c_2. \end{cases}
Da segunda equação vem
c_2=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na primeira:
2 = c_1 + 2\cdot\tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 2 = c_1 + 1 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 1.
Logo as coordenadas de \alpha_1\] na base \(\beta são
[\alpha_1]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de \alpha_2=(1,2) na base \beta. Procuramos d_1,d_2 tais que
(1,2)=d_1(1,0)+d_2(2,2).
Pelas componentes:
\begin{cases} 1 = d_1 + 2d_2,\\[4pt] 2 = 0\cdot d_1 + 2d_2. \end{cases}
Da segunda equação obtemos
d_2=1.
Substituindo na primeira:
1 = d_1 + 2\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = d_1 + 2 \quad\Rightarrow\quad d_1 = -1.
Portanto
[\alpha_2]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formamos [I]_{\alpha}^{\beta} juntando as coordenadas encontradas como colunas, na ordem dos vetores de \alpha:
[I]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\[6pt] \tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem rápida (exemplo): tome v=\alpha_1+\alpha_2. Então [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculando [I]_{\alpha}^{\beta}[v]_{\alpha}:
\begin{pmatrix} 1 & -1\\[6pt] \tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[6pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
Isso significa que v tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} na base \beta, ou seja v=0\cdot(1,0)+\tfrac{3}{2}\cdot(2,2)=(3,3). Pela soma direta \alpha_1+\alpha_2=(2,1)+(1,2)=(3,3), a verificação bate, mostrando que a matriz está correta.]

Resposta

[I]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}]

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