Considere \alpha=\sqrt{7}+i.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo p_{\alpha} \in \mathbb{Q}[x]. (Se não justificar que o candidato a polinômio os ơnmínimo é de fato o polinômio mínimo, a nota máxima é 60 \% no item)
(b) (0,5 ponto ) Construa o corpo \mathbb{Q}[\alpha].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (item a) Determinar o polinômio mínimo p_{\alpha}\in\mathbb{Q}[x] para \alpha=\sqrt{7}+i. É preciso justificar que o candidato é de facto o polinômio mínimo (ou seja, monico, com coeficientes racionais, que anula \alpha e é irreducível sobre \mathbb{Q}).
  2. (item b) Construir o corpo \mathbb{Q}[\alpha].
Informações dadas e relevantes:
  • \alpha=\sqrt{7}+i.
  • Sabemos que \sqrt{7} é uma raiz quadrada real de 7 e i é a unidade imaginária com i^2=-1.
  • Queremos trabalhar sobre \mathbb{Q} (coeficientes racionais).

Passo 2

O que é o polinômio mínimo (rápida aula):
  • Para um elemento \alpha algébrico sobre \mathbb{Q}, o polinômio mínimo p_{\alpha} é o único polinômio monico em \mathbb{Q}[x] de menor grau tal que p_{\alpha}(\alpha)=0.
  • Para mostrar que um polinômio dado é o mínimo, devemos: (i) mostrar que ele anula \alpha; (ii) mostrar que é monico; (iii) mostrar que é irreducível em \mathbb{Q}[x] (ou, equivalentemente, que nenhum polinômio monico de grau menor o divide).
Vou procurar primeiro um polinômio com coeficientes racionais que tenha \alpha como raiz; depois provarei que é irreducível.

Passo 3

Encontrando um polinômio que anula \alpha (eliminação do \sqrt{7} e de i):
Defina s=\sqrt{7} para escrever \alpha = s + i. Vamos calcular potências de \alpha para eliminar as raízes.
Calculemos \alpha^2:
\alpha^2 = (s+i)^2 = s^2 + 2is + i^2.
Como s^2=7 e i^2=-1, temos
\alpha^2 = 7 + 2i s -1 = 6 + 2i s.
Agora considere \alpha^2 - 6. Temos
\alpha^2 - 6 = 2 i s.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(\alpha^2 - 6)^2 = (2 i s)^2 = 4 i^2 s^2 = 4(-1)\cdot 7 = -28.
Expandindo o lado esquerdo:
\alpha^4 -12\alpha^2 +36 = -28.
Passando -28 para o lado esquerdo:
\alpha^4 -12\alpha^2 +64 = 0.
Logo \alpha é raiz do polinômio
\boxed{f(x)=x^4 - 12x^2 + 64.}
Este polinômio é monico e tem coeficientes em \mathbb{Q}. Agora precisamos mostrar que ele é irreducível sobre \mathbb{Q} (assim será o polinômio mínimo).

Passo 4

Mostrando que f(x)=x^4-12x^2+64 é irreducível em \mathbb{Q}[x]:
Observação: f(x) é um polinômio com termos apenas de grau par (é “par”). Se houver fatoração sobre \mathbb{Q} em polinômios quadráticos, pelo formato devem ser do tipo
(x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d)
com a,c,b,d\in\mathbb{Q}. Comparando coeficientes de x^3 e de x (que em f valem 0), obtemos
a + c = 0\quad\text{e}\quad ad + bc = 0.
Da primeira, c=-a. Então a condição do coeficiente de x fica a(d-b)=0. Existem duas possibilidades:
  1. a=0. Então c=0 e a fatoração seria (x^2 + b)(x^2 + d). Comparando coeficiente de x^2 e termo constante:
b + d = -12,\qquad bd = 64.
Isto significa que b e d seriam raízes de t^2 +12 t +64=0. O discriminante desta quadrática é \Delta = 12^2 - 4\cdot 1\cdot 64 = 144 - 256 = -112, negativo; portanto não há soluções racionais (nem reais) para b,d. Logo este caso é impossível em \mathbb{Q}.
  1. d=b. Usando c=-a e expandindo o coeficiente de x^2,
ac + b + d = -12 \implies a(-a) + 2b = -12 \implies -a^2 + 2b = -12.
E do termo constante bd = b^2 = 64 segue b=\pm 8.
  • Se b=8, então -a^2 +16 = -12 \implies a^2 = 28. Assim a=\pm \sqrt{28}=\pm 2\sqrt{7}, que não é racional.
  • Se b=-8, então -a^2 -16 = -12 \implies a^2 = -4, impossível em \mathbb{Q}.
Portanto não existe fatoração em quadráticos com coeficientes racionais. Também não pode ter raiz racional (grau 1) pois, pelo teste das raízes racionais para divisores de 64, nenhum inteiro divisor de 64 satisfaz x^4-12x^2+64=0 (pode checar rapidamente x=\pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\dots não satisfazem). Concluímos que f(x) é irriducível em \mathbb{Q}[x].
Sendo f monico, com coeficientes em \mathbb{Q}, anulando \alpha e irriducível, f é exatamente o polinômio mínimo de \alpha.

Passo 5

Conclusão do item (a):
O polinômio mínimo de \alpha=\sqrt{7}+i é
\boxed{p_{\alpha}(x)=x^4-12x^2+64.}
(Resumo do porquê: mostramos que p_{\alpha}(\alpha)=0 e que p_{\alpha} é monico e irreducível em \mathbb{Q}[x].)

Passo 6

Construindo o corpo \mathbb{Q}[\alpha] (item b) — explicação didática:
  • Por definição,
\mathbb{Q}[\alpha]=\{g(\alpha)\;|\; g(x)\in\mathbb{Q}[x]\},
ou seja, todos os polinômios em \alpha com coeficientes racionais. Como o polinômio mínimo tem grau 4, qualquer potência \alpha^n com n\ge 4 pode ser reduzida para combinação linear de 1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3 com coeficientes em \mathbb{Q} (usar a relação \alpha^4=12\alpha^2-64).
Portanto um conjunto de base para \mathbb{Q}[\alpha] como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} é
\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\},
e
\mathbb{Q}[\alpha]=\{a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3 \;|\; a,b,c,d\in\mathbb{Q}\}.
Outra descrição padrão é a isomorfia de anéis/ corpos
\mathbb{Q}[\alpha]\cong \mathbb{Q}[x]/(p_{\alpha}(x)),
onde (p_{\alpha}(x)) é o ideal gerado por p_{\alpha}.

Passo 7

Ligando \mathbb{Q}[\alpha] com \mathbb{Q}(\sqrt{7},i):
  • Note que \alpha=\sqrt{7}+i pertence ao corpo \mathbb{Q}(\sqrt{7},i), logo \mathbb{Q}[\alpha]\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{7},i).
  • O grau [\mathbb{Q}(\sqrt{7},i):\mathbb{Q}] é 4, porque [\mathbb{Q}(\sqrt{7}):\mathbb{Q}]=2 e ao adjuntar i obtemos mais fator 2 (as extensões são linearly disjoint porque \mathbb{Q}(\sqrt{7})\cap\mathbb{Q}(i)=\mathbb{Q}), logo o produto dos graus dá 4.
  • Como o polinômio mínimo de \alpha tem grau 4, temos [\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]=4.
  • Assim \mathbb{Q}[\alpha] é um subcorpo de \mathbb{Q}(\sqrt{7},i) com o mesmo grau finito sobre \mathbb{Q}, portanto são iguais:
\mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}(\sqrt{7},i).
Isto dá uma descrição alternativa prática: \mathbb{Q}[\alpha] é o menor corpo que contém \mathbb{Q}, \sqrt{7} e i, e tem dimensão 4 sobre \mathbb{Q}.

Resposta

p_{\alpha}(x)=x^4-12x^2+64\n
\displaystyle \mathbb{Q}[\alpha]=\{a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3\mid a,b,c,d\in\mathbb{Q}\}, com \{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\} base e \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}(\sqrt{7},i)\cong\mathbb{Q}[x]/(x^4-12x^2+64).

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