Considere
.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo
. (Se não justificar que o candidato a polinômio os ơnmínimo é de fato o polinômio mínimo, a nota máxima é
no item)
(b)
ponto
Construa o corpo
.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (item a) Determinar o polinômio mínimo
para . É preciso justificar que o candidato é de facto o polinômio mínimo (ou seja, monico, com coeficientes racionais, que anula e é irreducível sobre ). - (item b) Construir o corpo
.
Informações dadas e relevantes:
-
. - Sabemos que
é uma raiz quadrada real de e é a unidade imaginária com . - Queremos trabalhar sobre
(coeficientes racionais).
Passo 2
O que é o polinômio mínimo (rápida aula):
- Para um elemento
algébrico sobre , o polinômio mínimo é o único polinômio monico em de menor grau tal que . - Para mostrar que um polinômio dado é o mínimo, devemos: (i) mostrar que ele anula
; (ii) mostrar que é monico; (iii) mostrar que é irreducível em (ou, equivalentemente, que nenhum polinômio monico de grau menor o divide).
Vou procurar primeiro um polinômio com coeficientes racionais que tenha
como raiz; depois provarei que é irreducível.
Passo 3
Encontrando um polinômio que anula
(eliminação do
e de
):
Defina para escrever
. Vamos calcular potências de
para eliminar as raízes.
Defina
Calculemos
:
Como
e
, temos
Agora considere
. Temos
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Expandindo o lado esquerdo:
Passando
para o lado esquerdo:
Logo
é raiz do polinômio
Este polinômio é monico e tem coeficientes em
. Agora precisamos mostrar que ele é irreducível sobre
(assim será o polinômio mínimo).
Passo 4
Mostrando que
é irreducível em
:
Observação:
é um polinômio com termos apenas de grau par (é “par”). Se houver fatoração sobre
em polinômios quadráticos, pelo formato devem ser do tipo
com
. Comparando coeficientes de
e de
(que em
valem
), obtemos
Da primeira,
. Então a condição do coeficiente de
fica
. Existem duas possibilidades:
-
. Então e a fatoração seria . Comparando coeficiente de e termo constante:
Isto significa que
e
seriam raízes de
. O discriminante desta quadrática é
, negativo; portanto não há soluções racionais (nem reais) para
. Logo este caso é impossível em
.
-
. Usando e expandindo o coeficiente de ,
E do termo constante
segue
.
- Se
, então . Assim , que não é racional. - Se
, então , impossível em .
Portanto não existe fatoração em quadráticos com coeficientes racionais. Também não pode ter raiz racional (grau 1) pois, pelo teste das raízes racionais para divisores de
, nenhum inteiro divisor de
satisfaz
(pode checar rapidamente
não satisfazem). Concluímos que
é irriducível em
.
Sendo
monico, com coeficientes em
, anulando
e irriducível,
é exatamente o polinômio mínimo de
.
Passo 5
Conclusão do item (a):
O polinômio mínimo de é
O polinômio mínimo de
(Resumo do porquê: mostramos que
e que
é monico e irreducível em
.)
Passo 6
Construindo o corpo
(item b) — explicação didática:
- Por definição,
ou seja, todos os polinômios em
com coeficientes racionais. Como o polinômio mínimo tem grau
, qualquer potência
com
pode ser reduzida para combinação linear de
com coeficientes em
(usar a relação
).
Portanto um conjunto de base para
como espaço vetorial sobre
é
e
Outra descrição padrão é a isomorfia de anéis/ corpos
onde
é o ideal gerado por
.
Passo 7
Ligando
com
:
- Note que
pertence ao corpo , logo . - O grau
é , porque e ao adjuntar obtemos mais fator (as extensões são linearly disjoint porque ), logo o produto dos graus dá . - Como o polinômio mínimo de
tem grau , temos . - Assim
é um subcorpo de com o mesmo grau finito sobre , portanto são iguais:
Isto dá uma descrição alternativa prática:
é o menor corpo que contém
,
e
, e tem dimensão
sobre
.