(1 ponto) Seja
um número algébrico tal que a extensão
é de grau 2 sobre
. Mostre que existem
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
- Dado
que é um número algébrico. - A extensão
tem grau sobre . Ou seja, a dimensão de como espaço vetorial sobre é . - Pede-se para mostrar que existem
tais que .
Passo 2
Vou explicar o que significa que a extensão tem grau
. Dizer que a extensão
tem grau
significa que o espaço vetorial
sobre o corpo
tem dimensão
. Isso quer dizer que existe uma base de exatamente dois vetores (dois elementos) e que qualquer elemento de
pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores com coeficientes em
.
Mostro que
. Se
então
e a extensão teria grau
, o que contradiz a hipótese de grau
. Logo,
.
Passo 3
Como
, os elementos
e
são linearmente independentes sobre
. Explico isso: se existissem
, não ambos nulos, com
, então, se
, teríamos
, contradição; se
então
. Portanto
é um conjunto independente.
Temos agora um conjunto independente de dois vetores
num espaço vetorial de dimensão
. Por teoria de espaços vetoriais, um conjunto independente com o mesmo número de vetores que a dimensão é uma base. Assim
é base de
.
Passo 4
Como
é base, qualquer elemento de
pode ser escrito de forma única como combinação linear
com
. Em particular,
, então existem
tais que
Basta renomear
e
para obter a forma pedida.
Pequeno exemplo para fixar a ideia: se
então
e de fato
, ou seja, com
e
temos
. Outro exemplo é a razão áurea
, que satisfaz
, logo
,
.