(1 ponto) Seja \alpha \in \mathbb{C} um número algébrico tal que a extensão \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}[\alpha] é de grau 2 sobre \mathbb{Q}. Mostre que existem a, b \in \mathbb{Q} tais que \alpha^{2}=a \alpha+b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
  • Dado \alpha \in \mathbb{C} que é um número algébrico.
  • A extensão \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}[\alpha] tem grau 2 sobre \mathbb{Q}. Ou seja, a dimensão de \mathbb{Q}[\alpha] como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} é 2.
  • Pede-se para mostrar que existem a,b \in \mathbb{Q} tais que \alpha^{2} = a\alpha + b.

Passo 2

Vou explicar o que significa que a extensão tem grau 2. Dizer que a extensão \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}[\alpha] tem grau 2 significa que o espaço vetorial \mathbb{Q}[\alpha] sobre o corpo \mathbb{Q} tem dimensão 2. Isso quer dizer que existe uma base de exatamente dois vetores (dois elementos) e que qualquer elemento de \mathbb{Q}[\alpha] pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores com coeficientes em \mathbb{Q}.
Mostro que \alpha \notin \mathbb{Q}. Se \alpha \in \mathbb{Q} então \mathbb{Q}[\alpha] = \mathbb{Q} e a extensão teria grau 1, o que contradiz a hipótese de grau 2. Logo, \alpha \notin \mathbb{Q}.

Passo 3

Como \alpha \notin \mathbb{Q}, os elementos 1 e \alpha são linearmente independentes sobre \mathbb{Q}. Explico isso: se existissem c,d\in\mathbb{Q}, não ambos nulos, com c + d\alpha = 0, então, se d\neq 0, teríamos \alpha = -c/d \in \mathbb{Q}, contradição; se d=0 então c=0. Portanto \{1,\alpha\} é um conjunto independente.
Temos agora um conjunto independente de dois vetores \{1,\alpha\} num espaço vetorial de dimensão 2. Por teoria de espaços vetoriais, um conjunto independente com o mesmo número de vetores que a dimensão é uma base. Assim \{1,\alpha\} é base de \mathbb{Q}[\alpha].

Passo 4

Como \{1,\alpha\} é base, qualquer elemento de \mathbb{Q}[\alpha] pode ser escrito de forma única como combinação linear r + s\alpha com r,s\in\mathbb{Q}. Em particular, \alpha^{2} \in \mathbb{Q}[\alpha], então existem r,s\in\mathbb{Q} tais que
\alpha^{2} = r + s\alpha.
Basta renomear a := s e b := r para obter a forma pedida.
Pequeno exemplo para fixar a ideia: se \alpha = \sqrt{2} então \mathbb{Q}[\alpha] = \{r+s\sqrt{2}\mid r,s\in\mathbb{Q}\} e de fato \alpha^{2} = 2 = 0\cdot\alpha + 2, ou seja, com a=0 e b=2 temos \alpha^{2}=a\alpha+b. Outro exemplo é a razão áurea \varphi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}, que satisfaz \varphi^{2}=\varphi+1, logo a=1, b=1.

Resposta

\exists\, a,b\in\mathbb{Q}\\ \text{ tais que }\\ \alpha^{2}=a\alpha+b.

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