Considere
.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo
. (Se não justificar que o candidato a polinômio mínimo é de fato o polinômio mínimo, a nota máxima é
no item)
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo
Passo 1
O enunciado dá o número
e pede: "Determine o polinômio mínimo
".
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é um número complexo que envolve e . - Queremos um polinômio com coeficientes racionais, monico (por convenção de polinômios mínimos), de menor grau possível, que tenha
como raiz. - Não há outras informações no enunciado; todas as manipulações devem partir do valor dado de
.
Passo 2
O que significa “polinômio mínimo” de forma prática (mini-aula):
O polinômio mínimo de sobre
é o polinômio monico de menor grau em
que anula
. Uma forma prática de obtê‑lo é observar todas as imagens de
por automorfismos de corpo que fixam
(as “conjugadas” de
) e então tomar o produto
. No nosso caso, as raízes
e
podem trocar de sinal independentemente ao aplicar automorfismos que fixam
, logo as possíveis conjugadas de
são
O polinômio mínimo de
isto é, as quatro combinações
.
Passo 3
Vamos formar o polinômio cujo conjunto de raízes é exatamente essas quatro conjugadas. É conveniente agrupar em pares que eliminem
primeiro. Defina
. Considere o produto das duas raízes que diferem apenas no sinal de
:
Isso é igual a
e, usando a identidade
, obtemos
Passo 4
Expanda
. Lembre que
:
Passo 5
Façamos o mesmo com as duas conjugadas que têm
trocado de sinal:
Passo 6
Agora multiplicamos as duas quadráticas obtidas para eliminar
. Temos
Use a identidade
tomando
e
:
Passo 7
Calcule cada termo separadamente. Primeiro,
Segundo,
pois
. Subtraindo,
Passo 8
Concluímos que o polinômio que tem como raízes exatamente as quatro conjugadas de
é
Este polinômio é monico e tem coeficientes em
, e por construção anula
. Resta mostrar que ele é de fato o polinômio mínimo, ou seja, que não existe um polinômio monico de coeficientes racionais de grau menor que o anula.
Passo 9
Prova de minimalidade (irredutibilidade sobre
):
Uma maneira simples é usar grau de extensão: tem grau
sobre
e
tem grau
sobre
. Note que
é um subcampo real (todos os seus elementos são reais), enquanto
contém números não reais (por exemplo
); portanto a interseção
é
. Pela multiplicatividade do grau de extensão (grau composto),
Uma maneira simples é usar grau de extensão:
Assim o grau do polinômio mínimo de
é 4. Como já encontramos um polinômio monico de grau 4 em
que anula
, esse polinômio deve ser o polinômio mínimo.
Passo 10
Alternativamente, podemos mostrar diretamente que
é irredutível sobre
(sem apelar ao grau de extensão). Suponha, por contradição, que haja fatoração em
em dois quadráticos:
com
. Como não há termos em
nem em
, devemos ter
e
. Da primeira condição
. A segunda fica
. Se
então o polinômio seria
e então
e
, ou seja,
e
seriam raízes de
, cujo discriminante é
; logo
, contradição. Se
(a outra possibilidade), então
e
. Se
então da condição sobre o coeficiente de
segue
, isto é
, não racional. Se
então
, impossível. Logo nenhuma fatoração em quadráticos com coeficientes racionais existe. Portanto o polinômio é irreducível em
.