Considere \alpha=\sqrt{7}-i.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo p_{\alpha} \in \mathbb{Q}[x]. (Se não justificar que o candidato a polinômio mínimo é de fato o polinômio mínimo, a nota máxima é 60 \% no item)

Passo 1

O enunciado dá o número \alpha=\sqrt{7}-i e pede: "Determine o polinômio mínimo p_{\alpha}\in\mathbb{Q}[x]".
Informações relevantes que temos:
  • \alpha=\sqrt{7}-i é um número complexo que envolve \sqrt{7} e i.
  • Queremos um polinômio com coeficientes racionais, monico (por convenção de polinômios mínimos), de menor grau possível, que tenha \alpha como raiz.
  • Não há outras informações no enunciado; todas as manipulações devem partir do valor dado de \alpha.

Passo 2

O que significa “polinômio mínimo” de forma prática (mini-aula):
O polinômio mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q} é o polinômio monico de menor grau em \mathbb{Q}[x] que anula \alpha. Uma forma prática de obtê‑lo é observar todas as imagens de \alpha por automorfismos de corpo que fixam \mathbb{Q} (as “conjugadas” de \alpha) e então tomar o produto \prod (x-\text{conjugada}). No nosso caso, as raízes \sqrt{7} e i podem trocar de sinal independentemente ao aplicar automorfismos que fixam \mathbb{Q}, logo as possíveis conjugadas de \alpha são
\pm\sqrt{7}\pm i,
isto é, as quatro combinações \sqrt{7}-i,\\ \sqrt{7}+i,\\\ -\sqrt{7}-i,\\\ -\sqrt{7}+i.

Passo 3

Vamos formar o polinômio cujo conjunto de raízes é exatamente essas quatro conjugadas. É conveniente agrupar em pares que eliminem i primeiro. Defina s=\sqrt{7}. Considere o produto das duas raízes que diferem apenas no sinal de i:
\bigl(x-(s-i)\bigr)\bigl(x-(s+i)\bigr).
Isso é igual a ((x-s)+i)((x-s)-i)) e, usando a identidade (u+v)(u-v)=u^2-v^2, obtemos
\bigl(x-(s-i)\bigr)\bigl(x-(s+i)\bigr)=(x-s)^2+1.

Passo 4

Expanda (x-s)^2+1. Lembre que s^2=7:
(x-s)^2+1 = x^2 -2s x + s^2 +1 = x^2 -2s x + (7+1) = x^2 -2s x +8.

Passo 5

Façamos o mesmo com as duas conjugadas que têm s trocado de sinal:
\bigl(x-(-s-i)\bigr)\bigl(x-(-s+i)\bigr) = (x+s)^2+1 = x^2 +2s x +8.

Passo 6

Agora multiplicamos as duas quadráticas obtidas para eliminar s. Temos
\bigl(x^2 -2s x +8\bigr)\bigl(x^2 +2s x +8\bigr).
Use a identidade (A-B)(A+B)=A^2-B^2 tomando A=x^2+8 e B=2s x:
\bigl(x^2 -2s x +8\bigr)\bigl(x^2 +2s x +8\bigr)=(x^2+8)^2-(2s x)^2.

Passo 7

Calcule cada termo separadamente. Primeiro,
(x^2+8)^2 = x^4 +16x^2 +64.
Segundo,
(2s x)^2 = 4s^2 x^2 = 4\cdot 7\cdot x^2 = 28x^2,
pois s^2=7. Subtraindo,
(x^2+8)^2-(2s x)^2 = x^4 +16x^2 +64 -28x^2 = x^4 -12x^2 +64.

Passo 8

Concluímos que o polinômio que tem como raízes exatamente as quatro conjugadas de \alpha é
x^4 -12x^2 +64.
Este polinômio é monico e tem coeficientes em \mathbb{Q}, e por construção anula \alpha. Resta mostrar que ele é de fato o polinômio mínimo, ou seja, que não existe um polinômio monico de coeficientes racionais de grau menor que o anula.

Passo 9

Prova de minimalidade (irredutibilidade sobre \mathbb{Q}):
Uma maneira simples é usar grau de extensão: \mathbb{Q}(\sqrt{7}) tem grau 2 sobre \mathbb{Q} e \mathbb{Q}(i) tem grau 2 sobre \mathbb{Q}. Note que \mathbb{Q}(\sqrt{7}) é um subcampo real (todos os seus elementos são reais), enquanto \mathbb{Q}(i) contém números não reais (por exemplo i); portanto a interseção \mathbb{Q}(\sqrt{7})\cap\mathbb{Q}(i) é \mathbb{Q}. Pela multiplicatividade do grau de extensão (grau composto),
[\mathbb{Q}(\sqrt{7},i):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{7},i):\mathbb{Q}(\sqrt{7})]\cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{7}):\mathbb{Q}] = 2\cdot 2 = 4.
Assim o grau do polinômio mínimo de \alpha é 4. Como já encontramos um polinômio monico de grau 4 em \mathbb{Q}[x] que anula \alpha, esse polinômio deve ser o polinômio mínimo.

Passo 10

Alternativamente, podemos mostrar diretamente que x^4-12x^2+64 é irredutível sobre \mathbb{Q} (sem apelar ao grau de extensão). Suponha, por contradição, que haja fatoração em \mathbb{Q}[x] em dois quadráticos:
x^4-12x^2+64=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d),
com a,b,c,d\in\mathbb{Q}. Como não há termos em x^3 nem em x, devemos ter a+c=0 e ad+bc=0. Da primeira condição c=-a. A segunda fica a(d-b)=0. Se a=0 então o polinômio seria (x^2+b)(x^2+d) e então b+d=-12 e bd=64, ou seja, b e d seriam raízes de t^2+12t+64=0, cujo discriminante é 144-256=-112<0; logo b,d\notin\mathbb{Q}, contradição. Se d=b (a outra possibilidade), então b^2=64 e b=\pm 8. Se b=8 então da condição sobre o coeficiente de x^2 segue -a^2+2b=-12, isto é a^2=28, não racional. Se b=-8 então a^2=-4, impossível. Logo nenhuma fatoração em quadráticos com coeficientes racionais existe. Portanto o polinômio é irreducível em \mathbb{Q}[x].

Resposta

p_{\alpha}(x)=x^{4}-12x^{2}+64

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