Considere a=\sqrt[3]{5}-2.
(a) (0,75 ponto) Determine o inverso de \alpha em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].
Passo 1
Temos a informação dada: \alpha=\sqrt[3]{5}-2. A pergunta é: determinar o inverso de \alpha dentro do corpo \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}], isto é, encontrar um elemento de \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] que multiplicado por \alpha dê 1. Todas as informações relevantes estão aqui: \sqrt[3]{5} é a raiz real de x^3-5 e estamos trabalhando em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].
Passo 2
Ideia para resolver: como \sqrt[3]{5} satisfaz x^3=5, o espaço \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] tem dimensão 3 sobre \mathbb{Q} com base típica \{1,\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{5}^2\}. Por isso qualquer elemento do corpo, em particular o inverso de \alpha, pode ser escrito como combinação linear dessa base com coeficientes racionais. Portanto vamos procurar números racionais A,B,C tais que
\frac{1}{\alpha}=A+B\sqrt[3]{5}+C\sqrt[3]{5}^2.
Passo 3
Substituo \alpha=\sqrt[3]{5}-2 e imponho a igualdade multiplicando ambos os lados por \alpha. Isto dá a equação
Uso a relação \theta^3=5 (pois \theta=\sqrt[3]{5}). Substituindo \theta^3 por 5 na expansão, obtenho
A\theta-2A + B\theta^2-2B\theta + 5C -2C\theta^2.
Agora agrupo termos por potências de \theta:
\text{coeficiente de }\theta^2: \; B-2C,
\text{coeficiente de }\theta: \; A-2B,
\text{termo constante: } \; -2A+5C.
Portanto a expressão se reescreve como
(B-2C)\theta^2 + (A-2B)\theta + (-2A+5C).
Passo 5
Queremos que essa expressão seja igual a 1, que, escrita na base \{1,\theta,\theta^2\}, tem coeficientes 0 para \theta e \theta^2 e coeficiente 1 para 1. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear em A,B,C: