Considere a=\sqrt[3]{5}-2.
(a) (0,75 ponto) Determine o inverso de \alpha em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].

Passo 1

Temos a informação dada: \alpha=\sqrt[3]{5}-2. A pergunta é: determinar o inverso de \alpha dentro do corpo \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}], isto é, encontrar um elemento de \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] que multiplicado por \alpha 1. Todas as informações relevantes estão aqui: \sqrt[3]{5} é a raiz real de x^3-5 e estamos trabalhando em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].

Passo 2

Ideia para resolver: como \sqrt[3]{5} satisfaz x^3=5, o espaço \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] tem dimensão 3 sobre \mathbb{Q} com base típica \{1,\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{5}^2\}. Por isso qualquer elemento do corpo, em particular o inverso de \alpha, pode ser escrito como combinação linear dessa base com coeficientes racionais. Portanto vamos procurar números racionais A,B,C tais que
\frac{1}{\alpha}=A+B\sqrt[3]{5}+C\sqrt[3]{5}^2.

Passo 3

Substituo \alpha=\sqrt[3]{5}-2 e imponho a igualdade multiplicando ambos os lados por \alpha. Isto dá a equação
(A+B\sqrt[3]{5}+C\sqrt[3]{5}^2)\,(\sqrt[3]{5}-2)=1.
Agora vou expandir o produto; para simplificar escrevo \theta=\sqrt[3]{5} (está tudo em \mathbb{Q}[\theta]) e depois volto a \sqrt[3]{5}. A expansão é
(A+B\theta+C\theta^2)(\theta-2) = A\theta-2A + B\theta^2-2B\theta + C\theta^3-2C\theta^2.

Passo 4

Uso a relação \theta^3=5 (pois \theta=\sqrt[3]{5}). Substituindo \theta^3 por 5 na expansão, obtenho
A\theta-2A + B\theta^2-2B\theta + 5C -2C\theta^2.
Agora agrupo termos por potências de \theta:
\text{coeficiente de }\theta^2: \; B-2C,
\text{coeficiente de }\theta: \; A-2B,
\text{termo constante: } \; -2A+5C.
Portanto a expressão se reescreve como
(B-2C)\theta^2 + (A-2B)\theta + (-2A+5C).

Passo 5

Queremos que essa expressão seja igual a 1, que, escrita na base \{1,\theta,\theta^2\}, tem coeficientes 0 para \theta e \theta^2 e coeficiente 1 para 1. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear em A,B,C:
\begin{cases} B-2C=0,\\[4pt] A-2B=0,\\[4pt] -2A+5C=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação vem
B=2C.
Da segunda equação vem
A=2B=2(2C)=4C.
Substituo A=4C na terceira equação:
-2(4C)+5C=1 \quad\Rightarrow\quad -8C+5C=1 \quad\Rightarrow\quad -3C=1.
Assim
C=-\frac{1}{3}.
Então
B=2C=-\frac{2}{3},\qquad A=4C=-\frac{4}{3}.

Passo 7

Agora reescrevo o inverso usando esses coeficientes e voltando a \sqrt[3]{5}:
\frac{1}{\sqrt[3]{5}-2}=A+B\sqrt[3]{5}+C\sqrt[3]{5}^2 =-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt[3]{5}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{5}^2.
Factorizando -\dfrac{1}{3} obtemos uma forma mais compacta:
\frac{1}{\sqrt[3]{5}-2}=-\frac{1}{3}\big(\sqrt[3]{5}^2+2\sqrt[3]{5}+4\big).
Essa expressão está em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] e é o inverso procurado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{5}-2}=-\frac{1}{3}\big(\sqrt[3]{5}^2+2\sqrt[3]{5}+4\big)

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