( 0,75 ponto) Tome
. Calcule
para cada uma das três raízes
de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para calcular
para cada uma das três raízes
de
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é: para cada raiz
de
, determinar explicitamente o corpo (ou anel)
.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar as raízes de
. Observo que todos os termos têm fator comum
, então fatoro
fora:
Explicação rápida do passo: ao ver que cada monômio tem um
, podemos usar fator comum — é a técnica básica de fatoração.
Passo 3
Agora resolvo a equação quadrática
para obter as outras duas raízes. Uso a fórmula quadrática: para
, as soluções são
onde
,
,
. Calculo o discriminante:
Notando que
, aplico a fórmula:
Logo as duas raízes da quadrática são
Passo 4
Reuniendo: as três raízes de
são
Explicação didática: cada uma dessas é um número racional (pertencem a
). Quando encontramos raízes por fatoração e fórmula quadrática, sempre verificamos se o resultado é racional ou não — aqui ficou claro que todas são racionais.
Passo 5
Agora lembro a definição e uma propriedade útil. Definição informal:
é o menor subanel de
que contém
e o elemento
. Para elementos algébricos sobre
costuma-se ter
, o menor corpo que contém
e
. Propriedade fundamental que vou usar: se
, então
. Vou justificar isso de forma simples e direta.
Passo 6
Justificativa da propriedade (passo a passo, para você usar na prova): suponha
com
,
. Qualquer polinômio com coeficientes racionais avaliado em
continua sendo um número racional, porque operações de soma e multiplicação entre racionais produzem racionais. Assim todo elemento do anel
(ou do corpo
) já pertence a
. Por outro lado,
por definição. Daí
. Em palavras amistosas: “adicionar” um número que já é racional não amplia o corpo — nada novo aparece.
Passo 7
Aplicando essa propriedade às nossas três raízes:
- Para
temos , então . - Para
temos , então . - Para
temos , então .
Dica prática para a prova: sempre verifique primeiro se a raiz é racional. Se for, você já ganha: adição de um racional não muda o corpo base.