( 0,75 ponto) Tome p=2 x^{3}+13 x^{2}-7 x \in \mathbb{Q}[x]. Calcule \mathbb{Q}[\alpha] para cada uma das três raízes \alpha de p.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=2x^{3}+13x^{2}-7x\in\mathbb{Q}[x] e pede para calcular \mathbb{Q}[\alpha] para cada uma das três raízes \alpha de p.\n
Informações relevantes fornecidas:
p(x)=2x^{3}+13x^{2}-7x.
A tarefa é: para cada raiz \alpha de p, determinar explicitamente o corpo (ou anel) \mathbb{Q}[\alpha].

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as raízes de p(x). Observo que todos os termos têm fator comum x, então fatoro x fora:
p(x)=x\bigl(2x^{2}+13x-7\bigr).
Explicação rápida do passo: ao ver que cada monômio tem um x, podemos usar fator comum — é a técnica básica de fatoração.

Passo 3

Agora resolvo a equação quadrática \;2x^{2}+13x-7=0\; para obter as outras duas raízes. Uso a fórmula quadrática: para \;ax^{2}+bx+c=0\;, as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=2, b=13, c=-7. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=13^{2}-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225.
Notando que 225=15^{2}, aplico a fórmula:
x=\frac{-13\pm15}{4}.
Logo as duas raízes da quadrática são
x_{1}=\frac{-13+15}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
x_{2}=\frac{-13-15}{4}=\frac{-28}{4}=-7.

Passo 4

Reuniendo: as três raízes de p são
\alpha_{1}=0,\qquad \alpha_{2}=\frac{1}{2},\qquad \alpha_{3}=-7.
Explicação didática: cada uma dessas é um número racional (pertencem a \mathbb{Q}). Quando encontramos raízes por fatoração e fórmula quadrática, sempre verificamos se o resultado é racional ou não — aqui ficou claro que todas são racionais.

Passo 5

Agora lembro a definição e uma propriedade útil. Definição informal: \mathbb{Q}[\alpha] é o menor subanel de \mathbb{C} que contém \mathbb{Q} e o elemento \alpha. Para elementos algébricos sobre \mathbb{Q} costuma-se ter \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}(\alpha), o menor corpo que contém \mathbb{Q} e \alpha. Propriedade fundamental que vou usar: se \alpha\in\mathbb{Q}, então \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}. Vou justificar isso de forma simples e direta.

Passo 6

Justificativa da propriedade (passo a passo, para você usar na prova): suponha \alpha=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q} com a,b\in\mathbb{Z}, b\neq0. Qualquer polinômio com coeficientes racionais avaliado em \alpha continua sendo um número racional, porque operações de soma e multiplicação entre racionais produzem racionais. Assim todo elemento do anel \mathbb{Q}[\alpha] (ou do corpo \mathbb{Q}(\alpha)) já pertence a \mathbb{Q}. Por outro lado, \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}[\alpha] por definição. Daí \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}. Em palavras amistosas: “adicionar” um número que já é racional não amplia o corpo — nada novo aparece.

Passo 7

Aplicando essa propriedade às nossas três raízes:
  • Para \alpha_{1}=0 temos 0\in\mathbb{Q}, então \mathbb{Q}[\alpha_{1}]=\mathbb{Q}.
  • Para \alpha_{2}=\tfrac{1}{2} temos \tfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}, então \mathbb{Q}[\alpha_{2}]=\mathbb{Q}.
  • Para \alpha_{3}=-7 temos -7\in\mathbb{Q}, então \mathbb{Q}[\alpha_{3}]=\mathbb{Q}.
Dica prática para a prova: sempre verifique primeiro se a raiz é racional. Se for, você já ganha: adição de um racional não muda o corpo base.

Resposta

\mathbb{Q}[0]=\mathbb{Q}\n
\mathbb{Q}\!\left[\tfrac{1}{2}\right]=\mathbb{Q}\n
\mathbb{Q}[-7]=\mathbb{Q}

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