Encontre a transformada de Laplace das funções
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
, onde é a função degrau unitário deslocada (ou função de Heaviside) que “liga” em .\n
Pergunta explícita: calculare indicar para quais valores de a integral converge (se necessário).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aqui vamos aprender isso devagarinho).\n
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Explicando cada símbolo:
-
é a variável de tempo (no domínio original). -
é a variável complexa da transformada (geralmente escrevemos ). - A integral vai de
a porque a transformada de Laplace é definida para sinais causais (avaliados a partir de ).\n
Condições de convergência: a integral só vale se a função integranda decai rápido o bastante quando; isso aparecerá como uma condição do tipo algo.
Passo 3
Entendendo a função degrau
(isso é importante e muito usado em provas).\n
A função vale
quando
e vale
quando
. Portanto multiplicar uma função por
“desliga” a função antes de
e a mantém a partir de
.\n
Logo, para calcular a transformada de Laplace de podemos restringir a integral original para começar em
, porque antes de
a função é zero.
A função
Logo, para calcular a transformada de Laplace de
Passo 4
Cálculo direto usando a definição:\n
Começamos pela definição substituindo :
Começamos pela definição substituindo
Como
para
e
para
, a integral reduz-se a
Agora avaliamos a integral impropria. Suponha primeiro que
(isto é,
) para que a exponencial decaia no infinito. Então
Como
, temos
. Portanto
Condição de validade: a conta acima exige
para convergência.
Passo 5
Método alternativo (teorema do deslocamento no tempo) — boa para decorar e usar na prova.\n
Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se , então
Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se
No nosso caso podemos escrever
. Aqui
com
. Sabemos que
Aplicando o teorema com
e multiplicando pelo fator
que está fora:
novamente com a mesma condição
. Esse caminho é mais curto e muito usado em resoluções rápidas.
Passo 6
Resumo do que aprendemos e dica de prova.\n
- Resultado final:
.\n - Regiăo de convergência:
.\n
Dica prática: para funções compense em reduzir a integral a partir de ou use direto o teorema de deslocamento — ambos dão a mesma resposta. Vai dar tudo certo na prova; você consegue!