Encontre a transformada de Laplace das funções
e^{t} u(t-3)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a transformada de Laplace da função \,e^{t}u(t-3)\,.\n
Informações dadas:
  • A função é \,e^{t}u(t-3)\,, onde u(t-3) é a função degrau unitário deslocada (ou função de Heaviside) que “liga” em t=3.\n
    Pergunta explícita: calcular \mathcal{L}\{e^{t}u(t-3)\}(s) e indicar para quais valores de s a integral converge (se necessário).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (aqui vamos aprender isso devagarinho).\n
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • t é a variável de tempo (no domínio original).
  • s é a variável complexa da transformada (geralmente escrevemos s=\sigma + i\omega).
  • A integral vai de 0 a \infty porque a transformada de Laplace é definida para sinais causais (avaliados a partir de t=0).\n
    Condições de convergência: a integral só vale se a função integranda decai rápido o bastante quando t\to\infty; isso aparecerá como uma condição do tipo \Re(s)> algo.

Passo 3

Entendendo a função degrau u(t-3) (isso é importante e muito usado em provas).\n
A função u(t-3) vale 0 quando t<3 e vale 1 quando t\ge 3. Portanto multiplicar uma função por u(t-3) “desliga” a função antes de t=3 e a mantém a partir de t=3.\n
Logo, para calcular a transformada de Laplace de e^{t}u(t-3) podemos restringir a integral original para começar em t=3, porque antes de 3 a função é zero.

Passo 4

Cálculo direto usando a definição:\n
Começamos pela definição substituindo f(t)=e^{t}u(t-3):
\mathcal{L}\{e^{t}u(t-3)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{t}u(t-3)\,dt.
Como u(t-3)=0 para t<3 e 1 para t\ge3, a integral reduz-se a
\mathcal{L}\{e^{t}u(t-3)\}(s)=\int_{3}^{\infty} e^{-st}\,e^{t}\,dt=\int_{3}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt.
Agora avaliamos a integral impropria. Suponha primeiro que \Re(s-1)>0 (isto é, \Re(s)>1) para que a exponencial decaia no infinito. Então
\int_{3}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-1)t}}{-(s-1)}\right]_{t=3}^{t=\infty}.
Como \Re(s-1)>0, temos \lim_{t\to\infty} e^{-(s-1)t}=0. Portanto
\int_{3}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt=\;0-\left(\frac{e^{-(s-1)\cdot 3}}{-(s-1)}\right)=\frac{e^{-3(s-1)}}{s-1}.
Condição de validade: a conta acima exige \Re(s)>1 para convergência.

Passo 5

Método alternativo (teorema do deslocamento no tempo) — boa para decorar e usar na prova.\n
Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}(s)=e^{-as}F(s).
No nosso caso podemos escrever e^{t}u(t-3)=e^{3}\,e^{t-3}u(t-3). Aqui f(\tau)=e^{\tau} com \tau=t-3. Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{\tau}\}(s)=\frac{1}{s-1}\quad(\Re(s)>1).
Aplicando o teorema com a=3 e multiplicando pelo fator e^{3} que está fora:
\mathcal{L}\{e^{t}u(t-3)\}(s)=e^{3}\cdot e^{-3s}\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{e^{-3(s-1)}}{s-1},
novamente com a mesma condição \Re(s)>1. Esse caminho é mais curto e muito usado em resoluções rápidas.

Passo 6

Resumo do que aprendemos e dica de prova.\n
  • Resultado final: \displaystyle \frac{e^{-3(s-1)}}{s-1}.\n
  • Regiăo de convergência: \Re(s)>1.\n
    Dica prática: para funções com u(t-a) pense em reduzir a integral a partir de a ou use direto o teorema de deslocamento — ambos dão a mesma resposta. Vai dar tudo certo na prova; você consegue!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{t}u(t-3)\}(s)=\frac{e^{-3(s-1)}}{s-1},\qquad \Re(s)>1

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