Considere uma amostra aleatória de uma população X com média mu=50 e variância sigma^2=60. Uma AAS de 40 observações foi extraída dessa população. Calcule
P(barX<45)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma população qualquer com média μ=50 e variância σ²=60. A gente tirou uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n=40 dessa população e quer saber a probabilidade de a média amostral Pl(bar X < 45r) ser menor que 45, ou seja
Isso faz parte de Estatística Inferencial, mais precisamente da distribuição amostral da média. Para resolver, vamos usar:
  1. Propriedade da média amostral: e .
  2. Teorema Central do Limite (TCL) ou, se assumirmos população normal, a distribuição exata de é Normal.
  3. Conversão para a variável padronizada da Normal padrão.

Passo 2

Calcular média e desvio‐padrão da distribuição de E[bar X] = mu = 50 :
  • A média é a mesma da população: sigmabar X = raiz1,5 approx 1,2247
  • A variância de vale .
    Logo, o desvio‐padrão é
Então (aproximadamente) ~ .

Passo 3

Agora a gente converte para Z = bar X - 50sigmabar X = bar X - 501,2247 , que é a normal padrão P(bar X < 45) = P!l(Z < 45-501,2247r) = P!l(Z < -51,2247r) = P(Z < -4,0825) :
Queremos
Na tabela da normal padrão, é um valor bem pequeno, tipicamente em torno de .

Resposta

P(bar X < 45) approx 2,3times10^-5

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