Suponha que queiramos testar
contra
, em que
é a média de uma normal
. Extraída uma amostra de
elementos da população, obtemos
.
Realize um teste de hipóteses com
supondo que
e que
é desconhecido.
Realize um teste de hipóteses com
Passo 1
O enunciado diz que queremos testar, ao nível de significância α=5%,
H₀: μ = 50 versus H₁: μ ≠ 50,
onde X₁,…,Xₙ ∼ N(μ, σ²) mas σ² é desconhecida. Da amostra de n=36 tiramos média \bar X=52 e variância amostral S²=850.
Conteúdo: teste t de Student para uma média, variância desconhecida. Vamos usar a estatística
\displaystyle t ;=;\frac{\bar X - μ₀}{S/\sqrt{n}}
e compará-la à distribuição tₙ₋₁.
H₀: μ = 50 versus H₁: μ ≠ 50,
onde X₁,…,Xₙ ∼ N(μ, σ²) mas σ² é desconhecida. Da amostra de n=36 tiramos média \bar X=52 e variância amostral S²=850.
Conteúdo: teste t de Student para uma média, variância desconhecida. Vamos usar a estatística
\displaystyle t ;=;\frac{\bar X - μ₀}{S/\sqrt{n}}
e compará-la à distribuição tₙ₋₁.
Passo 2
Por que usar t de Student?
Quando σ² é desconhecida usamos S² (variância da amostra) no lugar de σ² e a razão ( \bar X - μ₀ )/(S/√n) passa a seguir uma t de Student com n–1 graus de liberdade. Aqui n=36 então df=35.
Quando σ² é desconhecida usamos S² (variância da amostra) no lugar de σ² e a razão ( \bar X - μ₀ )/(S/√n) passa a seguir uma t de Student com n–1 graus de liberdade. Aqui n=36 então df=35.
Passo 3
Vamos calcular o valor observado de t:
S = √850 ≈ 29,154
S/√n = 29,154/6 ≈ 4,859
S = √850 ≈ 29,154
S/√n = 29,154/6 ≈ 4,859
Isso é o quão longe, em unidades de erro padrão, a média amostral está de 50.
Passo 4
Região crítica (teste bicaudal, α/2=0,025 em cada cauda):
Precisamos de t_{0,975;35}, que em tabela dá aproximadamente 2,030.
Então rejeitamos H₀ se |t_{\rm obs}| > 2,030.
Aqui |0,412| = 0,412 < 2,030, ou seja, estamos dentro da zona de não rejeição.
Precisamos de t_{0,975;35}, que em tabela dá aproximadamente 2,030.
Então rejeitamos H₀ se |t_{\rm obs}| > 2,030.
Aqui |0,412| = 0,412 < 2,030, ou seja, estamos dentro da zona de não rejeição.
Passo 5
Interpretação final: como |t_{\rm obs}| é bem menor que t crítico, não há evidência suficiente para rejeitar H₀ ao nível de 5%. O valor-p também seria grande (aprox. 0,68), mostrando falta de significância.
Resposta
Não rejeitamos H₀. Não há evidência ao nível de 5% de que μ seja diferente de 50.