Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 2 % (epsilon=0,02) da proporção verdadeira de imunizados na população.
Considerando gamma=95 %, qual o tamanho da amostra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma indústria farmacêutica quer saber quantos voluntários precisam testar uma vacina para garantir que a proporção de pessoas imunizadas na amostra esteja bem próxima da proporção real na população, com uma diferença máxima de 2% ( epsilon=0,02). Eles querem ter 95% de confiança ( gamma=95%) nesse cálculo. Então, vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra para uma proporção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular o tamanho da amostra ( n) quando queremos estimar uma proporção com um determinado nível de confiança e margem de erro. A fórmula é:
n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)epsilon^2 )
Onde:
  • Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • p é a proporção estimada da característica na população.
  • epsilon é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados que temos:
  • Nível de confiança ( gamma=95%): Precisamos encontrar o valor de Z que corresponde a 95% de confiança. Isso geralmente é 1,96.
  • Margem de erro ( epsilon=0,02): Já está dada como 2%.
  • Proporção estimada ( p): Se não temos uma estimativa prévia, usamos p=0,5 para maximizar o tamanho da amostra.

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)0,02^2 )

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular 1,96^2: 1,96^2 = 3,8416
  2. Calcular 0,5 cdot (1 - 0,5): 0,5 cdot 0,5 = 0,25
  3. Calcular 0,02^2: 0,02^2 = 0,0004
  4. Agora, substituir e calcular: n = 3,8416 cdot 0,250,0004 = 0,96040,0004 = 2401

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 2.401 voluntários.

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