Considere uma amostra aleatória simples, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, proveniente de uma população com média \mu e variância \sigma^{2}. Propuseram-se os seguintes estimadores para \mu :
\begin{aligned} & \widehat{\theta}_{1}=X_{n} \\\ & \widehat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{n}}{4} \\\ & \widehat{\theta}_{3}=\frac{X_{1}+2 X_{n}}{3} \end{aligned}
a) Verifique quais estimadores são viesados. Além disso, calcule o viés para cada um deles.
b) Calcule o EQM para os estimadores! Qual é o melhor estimar com base no EQM?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória simples X_{1},X_{2},\dots,X_{n} de uma população com média \mu e variância \sigma^{2}. Foram propostos três estimadores para \mu:
\widehat{\theta}_{1}=X_{n},\qquad \widehat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{n}}{4},\qquad \widehat{\theta}_{3}=\frac{X_{1}+2X_{n}}{3}.
As perguntas são:
  1. (a) Quais estimadores são viesados? Calcular o viés de cada um.
  2. (b) Calcular o erro quadrático médio (EQM, ou MSE) de cada estimador. Com base no EQM, qual é o melhor estimador?
Informações relevantes dadas (que vamos usar):
  • É amostra aleatória simples, então X_1,X_2,\dots,X_n são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com E[X_i]=\mu e \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2.
  • Precisamos aplicar propriedades de esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades usadas (mini-aula rápida e prática):
  • Viés: para um estimador \widehat{\theta} do parâmetro \theta, o viés é
\text{viés}(\widehat{\theta}) = E[\widehat{\theta}] - \theta.é
Se o viés é zero, o estimador é não-viesado (unbiased).
  • Erro quadrático médio (EQM ou MSE): é
\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}) = E\big[(\widehat{\theta}-\theta)^2\big] = \operatorname{Var}(\widehat{\theta}) + \big(\text{viés}(\widehat{\theta})\big)^2.é
Essa fórmula é muito útil: separa erro em variância e viés ao quadrado.
  • Propriedades que vamos usar:
    • Linearidade da esperança: E\big(\sum a_i X_i\big)=\sum a_i E[X_i].
    • Para variáveis independentes, \operatorname{Var}\big(\sum a_i X_i\big)=\sum a_i^2 \operatorname{Var}(X_i).
    • Para constante a, \operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).
      Vou aplicar essas propriedades passo a passo aos três estimadores.

Passo 3

Calcular as expectativas E[\widehat{\theta}_i] (passo direto para encontrar os vieses).
  • Para \widehat{\theta}_{1}=X_{n}:
E[\widehat{\theta}_{1}] = E[X_n] = \mu.
Logo o viés é E[\widehat{\theta}_{1}]-\mu = \mu-\mu = 0. Portanto \widehat{\theta}_{1} é não-viesado.
  • Para \widehat{\theta}_{2}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+X_{n}}{4}:
    Aplicando linearidade da esperança,
E[\widehat{\theta}_{2}] = \frac{1}{4}\big(E[X_1]+E[X_2]+E[X_n]\big) = \frac{1}{4}\big(\mu+\mu+\mu\big)=\frac{3\mu}{4}.
O viés é
\text{viés}(\widehat{\theta}_{2}) = E[\widehat{\theta}_{2}]-\mu = \frac{3\mu}{4}-\mu = -\frac{\mu}{4}.é
Portanto \widehat{\theta}_{2} é viesado, com viés -\dfrac{\mu}{4}.
  • Para \widehat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+2X_{n}}{3}:
E[\widehat{\theta}_{3}] = \frac{1}{3}\big(E[X_1]+2E[X_n]\big) = \frac{1}{3}\big(\mu+2\mu\big)=\mu.
O viés é E[\widehat{\theta}_{3}]-\mu=0. Portanto \widehat{\theta}_{3} é não-viesado.
Resumo parcial (já calculado): \widehat{\theta}_{1} e \widehat{\theta}_{3} são não-viesados; \widehat{\theta}_{2} é viesado com viés -\dfrac{\mu}{4}.

Passo 4

Calcular as variâncias \operatorname{Var}(\widehat{\theta}_i).
Usarei que as observações são independentes e todas com variância \sigma^2.
  • Para \widehat{\theta}_{1}=X_n:
\operatorname{Var}(\widehat{\theta}_{1})=\operatorname{Var}(X_n)=\sigma^2.
  • Para \widehat{\theta}_{2}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+X_{n}}{4}:
    os coeficientes são todos 1/4 em três termos, então
\operatorname{Var}(\widehat{\theta}_{2}) = \left(\frac{1}{4}\right)^2\operatorname{Var}(X_1) + \left(\frac{1}{4}\right)^2\operatorname{Var}(X_2) + \left(\frac{1}{4}\right)^2\operatorname{Var}(X_n) = 3\cdot\frac{1}{16}\sigma^2 = \frac{3\sigma^2}{16}.
  • Para \widehat{\theta}_{3}=\dfrac{X_{1}+2X_{n}}{3}:
    coeficientes 1/3 e 2/3, portanto
\operatorname{Var}(\widehat{\theta}_{3}) = \left(\frac{1}{3}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2\sigma^2 = \left(\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\right)\sigma^2 = \frac{5\sigma^2}{9}.

Passo 5

Calcular os EQM (MSE) usando \operatorname{MSE}(\widehat{\theta})=\operatorname{Var}(\widehat{\theta})+(\text{viés})^2é.
  • Para \widehat{\theta}_{1}: viés 0, então
\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{1}) = \sigma^2.
  • Para \widehat{\theta}_{2}: viés -\dfrac{\mu}{4} e variância \dfrac{3\sigma^2}{16}, logo
\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{2}) = \frac{3\sigma^2}{16} + \left(-\frac{\mu}{4}\right)^2 = \frac{3\sigma^2}{16} + \frac{\mu^2}{16} = \frac{3\sigma^2+\mu^2}{16}.
  • Para \widehat{\theta}_{3}: viés 0, assim
\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{3}) = \operatorname{Var}(\widehat{\theta}_{3}) = \frac{5\sigma^2}{9}.
Agora comparar os três EQM para decidir qual é melhor (o menor MSE). Observações úteis:
  • Numericamente, \dfrac{3}{16}\approx 0{,}1875, \dfrac{5}{9}\approx 0{,}5556, 1=1{,}0. Mas \operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{2}) também tem a parcela \dfrac{\mu^2}{16} que depende de \mu.
  • Comparações por desigualdades:
    • \operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{2})<\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{3}) se e somente se
    \frac{3\sigma^2+\mu^2}{16} < \frac{5\sigma^2}{9}.Multiplicando por 144 (múltiplo comum) dá 9(3\sigma^2+\mu^2) < 80\sigma^2 \quad\Longrightarrow\quad 27\sigma^2 + 9\mu^2 < 80\sigma^2
\Longrightarrow\quad 9\mu^2 < 53\sigma^2 \quad\Longrightarrow\quad \mu^2 < \frac{53}{9}\sigma^2.
Portanto \widehat{\theta}_{2} tem menor MSE que \widehat{\theta}_{3} quando
|\mu| < \sqrt{\frac{53}{9}}\,\sigma \approx 2{,}427\,\sigma.
Caso contrário, \widehat{\theta}_{3} tem MSE menor.
  • Comparando \widehat{\theta}_{2} com \widehat{\theta}_{1}:
\frac{3\sigma^2+\mu^2}{16} < \sigma^2 \quad\Longrightarrow\quad 3\sigma^2+\mu^2 < 16\sigma^2
\Longrightarrow\quad \mu^2 < 13\sigma^2 \quad\Longrightarrow\quad |\mu| < \sqrt{13}\,\sigma \approx 3{,}606\,\sigma.
Então \widehat{\theta}_{2} tem MSE menor que \widehat{\theta}_{1} quando |\mu|<\sqrt{13}\,\sigma. Para |\mu|>\sqrt{13}\,\sigma, \widehat{\theta}_{1} é melhor que \widehat{\theta}_{2}.
  • Comparando \widehat{\theta}_{3} com \widehat{\theta}_{1}:
\frac{5\sigma^2}{9} < \sigma^2
é sempre verdadeiro (pois 5/9<1). Logo \widehat{\theta}_{3} sempre tem MSE menor que \widehat{\theta}_{1}.
Conclusão das comparações:
  • \widehat{\theta}_{1} nunca é o melhor em termos de MSE (pois \widehat{\theta}_{3} sempre o supera).
  • Se \mu^2 < \dfrac{53}{9}\sigma^2 (i.e. |\mu| < \sqrt{53/9}\,\sigma \approx 2{,}427\,\sigma), então \widehat{\theta}_{2} é o melhor (menor MSE).
  • Se \mu^2 > \dfrac{53}{9}\sigma^2, então \widehat{\theta}_{3} é o melhor.
  • Caso limite \mu^2=\dfrac{53}{9}\sigma^2 há empate entre \widehat{\theta}_{2} e \widehat{\theta}_{3}.
Intuição final (rápida): \widehat{\theta}_{2} é viesado, mas reduz bastante a variância (divide soma de três observações por 4), então pode ter MSE muito pequeno quando \mu não é muito grande. Quando |\mu| cresce demais, o viés quadrático domina e \widehat{\theta}_{3} (não-viesado com variância moderada) passa a ser melhor.

Resposta

(a) \widehat{\theta}_{1} e \widehat{\theta}_{3} são não-viesados; \widehat{\theta}_{2} é viesado com viés \displaystyle -\frac{\mu}{4}.
(b) \displaystyle \operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{1})=\sigma^2.
\displaystyle \operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{2})=\frac{3\sigma^2+\mu^2}{16}.
\displaystyle \operatorname{MSE}(\widehat{\theta}_{3})=\frac{5\sigma^2}{9}.
Melhor estimador segundo EQM: \widehat{\theta}_{2} se \displaystyle \mu^2<\frac{53}{9}\sigma^2 (isto é, |\mu|<\sqrt{53/9}\,\sigma\approx2{,}427\sigma); caso contrário \widehat{\theta}_{3} é o melhor.

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