Considere uma amostra aleatória simples,
, proveniente de uma população com média
e variância
. Propuseram-se os seguintes estimadores para
:
a) Verifique quais estimadores são viesados. Além disso, calcule o viés para cada um deles.
b) Calcule o EQM para os estimadores! Qual é o melhor estimar com base no EQM?
b) Calcule o EQM para os estimadores! Qual é o melhor estimar com base no EQM?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória simples
de uma população com média
e variância
. Foram propostos três estimadores para
:
As perguntas são:
- (a) Quais estimadores são viesados? Calcular o viés de cada um.
- (b) Calcular o erro quadrático médio (EQM, ou MSE) de cada estimador. Com base no EQM, qual é o melhor estimador?
Informações relevantes dadas (que vamos usar):
- É amostra aleatória simples, então
são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com e . - Precisamos aplicar propriedades de esperança e variância de combinações lineares de variáveis independentes.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades usadas (mini-aula rápida e prática):
- Viés: para um estimador
do parâmetro , o viés é
Se o viés é zero, o estimador é não-viesado (unbiased).
- Erro quadrático médio (EQM ou MSE): é
Essa fórmula é muito útil: separa erro em variância e viés ao quadrado.
- Propriedades que vamos usar:
- Linearidade da esperança:
. - Para variáveis independentes,
. - Para constante
, .
Vou aplicar essas propriedades passo a passo aos três estimadores.
- Linearidade da esperança:
Passo 3
Calcular as expectativas
(passo direto para encontrar os vieses).
- Para
:
Logo o viés é
. Portanto
é não-viesado.
- Para
:
Aplicando linearidade da esperança,
O viés é
Portanto
é viesado, com viés
.
- Para
:
O viés é
. Portanto
é não-viesado.
Resumo parcial (já calculado):
e
são não-viesados;
é viesado com viés
.
Passo 4
Calcular as variâncias
.
Usarei que as observações são independentes e todas com variância .
Usarei que as observações são independentes e todas com variância
- Para
:
- Para
:
os coeficientes são todosem três termos, então
- Para
:
coeficientese , portanto
Passo 5
Calcular os EQM (MSE) usando
.
- Para
: viés , então
- Para
: viés e variância , logo
- Para
: viés , assim
Agora comparar os três EQM para decidir qual é melhor (o menor MSE). Observações úteis:
- Numericamente,
, , . Mas também tem a parcela que depende de . - Comparações por desigualdades:
-
se e somente se
Multiplicando por (múltiplo comum) dá -
Portanto
tem menor MSE que
quando
Caso contrário,
tem MSE menor.
- Comparando
com :
Então
tem MSE menor que
quando
. Para
,
é melhor que
.
- Comparando
com :
é sempre verdadeiro (pois
). Logo
sempre tem MSE menor que
.
Conclusão das comparações:
-
nunca é o melhor em termos de MSE (pois sempre o supera). - Se
(i.e. ), então é o melhor (menor MSE). - Se
, então é o melhor. - Caso limite
há empate entre e .
Intuição final (rápida):
é viesado, mas reduz bastante a variância (divide soma de três observações por
), então pode ter MSE muito pequeno quando
não é muito grande. Quando
cresce demais, o viés quadrático domina e
(não-viesado com variância moderada) passa a ser melhor.
Resposta
(a)
e
são não-viesados;
é viesado com viés
(b)
Melhor estimador segundo EQM:
se
(isto é,
); caso contrário
é o melhor.