Uma fábrica de componentes eletrônicos realiza um controle de qualidade em sua linha de produção. Suponha que a ocorrência de defeito em cada componente seja independente. Considere as seguintes situações: Associe cada situação a um dos seguintes modelos probabilísticos discretos:
d) Em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas.
d) Em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas.
Passo 1
O enunciado diz: em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O técnico examina exatamente
peças (número fixo de observações). - Para cada peça há apenas dois resultados possíveis: “defeituosa” ou “não defeituosa”.
- O enunciado afirma que as ocorrências de defeito em cada componente são independentes.
- A quantidade que queremos é o número de peças defeituosas no lote de
.
A pergunta implícita é: qual modelo probabilístico discreto descreve essa situação?
Passo 2
Vamos entender o bloco de construção: uma tentativa de Bernoulli. Uma variável aleatória de Bernoulli é usada quando há exatamente dois resultados possíveis em um ensaio: sucesso (por exemplo, peça defeituosa) com probabilidade
e fracasso (peça não defeituosa) com probabilidade
. Formalmente, se
é Bernoulli(
) então
Aqui, se chamarmos “sucesso” o evento “peça defeituosa”, cada peça examinada é essencialmente um ensaio de Bernoulli com probabilidade de defeito
(que não foi fornecida pelo enunciado).
Passo 3
Agora as condições para usar a distribuição binomial: a distribuição binomial descreve o número de sucessos em
ensaios de Bernoulli independentes e idênticos (mesma probabilidade
em cada ensaio). As condições são:
- número fixo de ensaios
; - cada ensaio tem dois resultados possíveis;
- probabilidade de sucesso
é a mesma em todos os ensaios; - ensaios independentes.
No nosso problema essas condições estão satisfeitas: temospeças (ensaios fixos), cada peça é defeituosa ou não (dois resultados), a independência foi dada e assumimos mesma probabilidade por peça. Portanto a variável que conta o número de peças defeituosas segue uma distribuição binomial.
Passo 4
Escrevendo a fórmula da massa de probabilidade da binomial: se
é o número de peças defeituosas em
ensaios, então
Expliquei cada termo:
-
é o número de maneiras diferentes de escolher quais das 10 peças são defeituosas (combinações). -
é a probabilidade de que exatamente essas escolhidas sejam defeituosas. -
é a probabilidade de que as restantes não sejam defeituosas.
Multiplicando o número de arranjos pelo produto das probabilidades chegamos à probabilidade de exatamentedefeituosas.
Passo 5
Um exemplo numérico para fixar a ideia (apenas exemplificando, porque o enunciado não deu
): suponha
(risco de defeito de
). Para
defeituosas,
então
Se você precisar calcular isso na prova sem calculadora, mantenha a expressão assim ou estime multiplicando passo a passo (120·0{,}001 = 0{,}12; depois multiplicar por
que pode ser aproximado se necessário).
Passo 6
Outras informações úteis que costumam cair em prova:
- Valor esperado (média) da binomial:
. No nosso caso . Interpretacão: na média espera-se peças defeituosas. - Variância da binomial:
. Aqui .
Essas fórmulas vêm de somarBernoullis independentes: média e variância somam.
Passo 7
Conclusão direta: o modelo apropriado para a situação é a distribuição binomial com
e parâmetro
igual à probabilidade de defeito por peça.
Resposta
Distribuição binomial com
e parâmetro
(probabilidade de defeito por peça).