Uma fábrica de componentes eletrônicos realiza um controle de qualidade em sua linha de produção. Suponha que a ocorrência de defeito em cada componente seja independente. Considere as seguintes situações: Associe cada situação a um dos seguintes modelos probabilísticos discretos:
d) Em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas.

Passo 1

O enunciado diz: em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O técnico examina exatamente 10 peças (número fixo de observações).
  • Para cada peça há apenas dois resultados possíveis: “defeituosa” ou “não defeituosa”.
  • O enunciado afirma que as ocorrências de defeito em cada componente são independentes.
  • A quantidade que queremos é o número de peças defeituosas no lote de 10.
    A pergunta implícita é: qual modelo probabilístico discreto descreve essa situação?

Passo 2

Vamos entender o bloco de construção: uma tentativa de Bernoulli. Uma variável aleatória de Bernoulli é usada quando há exatamente dois resultados possíveis em um ensaio: sucesso (por exemplo, peça defeituosa) com probabilidade p e fracasso (peça não defeituosa) com probabilidade 1-p. Formalmente, se Y é Bernoulli( p) então
P(Y=1)=p,\qquad P(Y=0)=1-p.
Aqui, se chamarmos “sucesso” o evento “peça defeituosa”, cada peça examinada é essencialmente um ensaio de Bernoulli com probabilidade de defeito p (que não foi fornecida pelo enunciado).

Passo 3

Agora as condições para usar a distribuição binomial: a distribuição binomial descreve o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes e idênticos (mesma probabilidade p em cada ensaio). As condições são:
  • número fixo de ensaios n;
  • cada ensaio tem dois resultados possíveis;
  • probabilidade de sucesso p é a mesma em todos os ensaios;
  • ensaios independentes.
    No nosso problema essas condições estão satisfeitas: temos n=10 peças (ensaios fixos), cada peça é defeituosa ou não (dois resultados), a independência foi dada e assumimos mesma probabilidade p por peça. Portanto a variável que conta o número de peças defeituosas segue uma distribuição binomial.

Passo 4

Escrevendo a fórmula da massa de probabilidade da binomial: se X é o número de peças defeituosas em 10 ensaios, então
P(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k},\qquad k=0,1,\dots,10.
Expliquei cada termo:
  • \binom{10}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k das 10 peças são defeituosas (combinações).
  • p^{k} é a probabilidade de que exatamente essas k escolhidas sejam defeituosas.
  • (1-p)^{10-k} é a probabilidade de que as 10-k restantes não sejam defeituosas.
    Multiplicando o número de arranjos pelo produto das probabilidades chegamos à probabilidade de exatamente k defeituosas.

Passo 5

Um exemplo numérico para fixar a ideia (apenas exemplificando, porque o enunciado não deu p): suponha p=0{,}1 (risco de defeito de 10\%). Para k=3 defeituosas,
\binom{10}{3}=120,
então
P(X=3)=120\cdot(0{,}1)^3\cdot(0{,}9)^7.
Se você precisar calcular isso na prova sem calculadora, mantenha a expressão assim ou estime multiplicando passo a passo (120·0{,}001 = 0{,}12; depois multiplicar por (0{,}9)^7 que pode ser aproximado se necessário).

Passo 6

Outras informações úteis que costumam cair em prova:
  • Valor esperado (média) da binomial: \displaystyle E(X)=n\,p. No nosso caso E(X)=10p. Interpretacão: na média espera-se 10p peças defeituosas.
  • Variância da binomial: \displaystyle \operatorname{Var}(X)=n\,p(1-p). Aqui \operatorname{Var}(X)=10p(1-p).
    Essas fórmulas vêm de somar n Bernoullis independentes: média e variância somam.

Passo 7

Conclusão direta: o modelo apropriado para a situação é a distribuição binomial com n=10 e parâmetro p igual à probabilidade de defeito por peça.

Resposta

Distribuição binomial com n=10 e parâmetro p (probabilidade de defeito por peça).

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