Lance um dado até que a face
apareça pela primeira vez. Enumere os possiveis resuitados desse experimento.
Passo 1
O enunciado pede para enumerar todos os possíveis resultados (o espaço amostral) do experimento: “lance um dado repetidas vezes até que a face
apareça pela primeira vez”. Informações importantes dadas:
- Há uma face especial chamada
que queremos que apareça. - O experimento termina no primeiro lançamento em que sai
. - Cada resultado é uma sequência finita de faces do dado, cujo último elemento é
e nenhum dos elementos anteriores é .
Passo 2
Vamos formalizar que tipo de sequências são permitidas. Chamemos de
o conjunto de todas as faces do dado (por exemplo, para um dado comum
), e note que
. Uma sequência de resultados válida tem a forma
onde:
-
é o comprimento da sequência (o número de lançamentos até o término), - para cada
com temos (ou seja, nenhum lançamento anterior mostrou ), - o último termo é
.
Passo 3
Agora escrevemos o espaço amostral de forma compacta usando produto cartesiano e união sobre todos os comprimentos possíveis. Para cada
o conjunto de sequências de comprimento
que terminam em
é
Portanto o espaço amostral
é a união de todos esses conjuntos para
:
Passo 4
Interpretação prática e exemplos para fixar: o primeiro termo da união (
) corresponde à sequência
(ou seja,
sai no primeiro lançamento). Para
temos todas as sequências
com
. Para
temos
com
, e assim por diante. Se
e
, os primeiros elementos do espaço são
Observe que
é infinito (há sequências de qualquer comprimento), mas cada sequência é finita porque o experimento para quando aparece
.