Lance um dado até que a face \delta apareça pela primeira vez. Enumere os possiveis resuitados desse experimento.

Passo 1

O enunciado pede para enumerar todos os possíveis resultados (o espaço amostral) do experimento: “lance um dado repetidas vezes até que a face \delta apareça pela primeira vez”. Informações importantes dadas:
  • Há uma face especial chamada \delta que queremos que apareça.
  • O experimento termina no primeiro lançamento em que sai \delta.
  • Cada resultado é uma sequência finita de faces do dado, cujo último elemento é \delta e nenhum dos elementos anteriores é \delta.

Passo 2

Vamos formalizar que tipo de sequências são permitidas. Chamemos de F o conjunto de todas as faces do dado (por exemplo, para um dado comum F=\{1,2,3,4,5,6\}), e note que \delta\in F. Uma sequência de resultados válida tem a forma (x_1,x_2,\dots,x_{n-1},\delta) onde:
  • n\ge 1 é o comprimento da sequência (o número de lançamentos até o término),
  • para cada i com 1\le i\le n-1 temos x_i\in F\setminus\{\delta\} (ou seja, nenhum lançamento anterior mostrou \delta),
  • o último termo é \delta.

Passo 3

Agora escrevemos o espaço amostral de forma compacta usando produto cartesiano e união sobre todos os comprimentos possíveis. Para cada n\ge 1 o conjunto de sequências de comprimento n que terminam em \delta é
(F\setminus\{\delta\})^{\,n-1}\times\{\delta\}.
Portanto o espaço amostral \Omega é a união de todos esses conjuntos para n=1,2,3,\dots:
\Omega=\bigcup_{n=1}^{\infty} (F\setminus\{\delta\})^{\,n-1}\times\{\delta\}.

Passo 4

Interpretação prática e exemplos para fixar: o primeiro termo da união ( n=1) corresponde à sequência (\delta) (ou seja, \delta sai no primeiro lançamento). Para n=2 temos todas as sequências (x,\delta) com x\in F\setminus\{\delta\}. Para n=3 temos (x_1,x_2,\delta) com x_1,x_2\in F\setminus\{\delta\}, e assim por diante. Se F=\{1,2,3,4,5,6\} e \delta=6, os primeiros elementos do espaço são
(6),\\ (1,6),\\ (2,6),\dots,(5,6),\\ (1,1,6),\\ (1,2,6),\dots
Observe que \Omega é infinito (há sequências de qualquer comprimento), mas cada sequência é finita porque o experimento para quando aparece \delta.

Resposta

\Omega=\bigcup_{n=1}^{\infty} (F\setminus\{\delta\})^{\,n-1}\times\{\delta\}

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