Demostre utilizando o Princípio de Indução Finita:
n=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \forall n \geq 1
Prove que o termo: 5^{n}+2 * 11^{n} é divisível por 3 \forall n \geq 1

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • Parte A: Mostrar, por indução finita, que
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\quad \forall n\ge 1.
Informação dada: a soma dos primeiros n inteiros positivos (isto é, 1+2+\cdots+n) deve ser igual à fórmula acima.
  • Parte B: Mostrar que o termo
5^{n}+2\cdot 11^{n}
é divisível por 3 para todo n\ge 1.
Informação dada: a expressão fechada 5^{n}+2\cdot 11^{n} deve ser múltiplo de 3 para qualquer n natural maior ou igual a 1.

Passo 2

Breve explicação do Princípio da Indução Finita (para eu e você ficarmos alinhados): para provar uma propriedade P(n) para todo n\ge 1 usando indução, seguimos dois passos básicos:
  1. Base da indução: provar que P(1) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assumir que P(n) é verdadeira para um n arbitrário (hipótese indutiva) e, a partir disso, provar que P(n+1) também é verdadeira.
Se os dois passos são cumpridos, a propriedade vale para todo n\ge1. Essa é a ideia — vamos aplicar exatamente isso nas duas partes.

Passo 3

Parte A — Base da indução para a soma dos inteiros: n=1.
Calculamos a soma quando n=1: \sum_{k=1}^{1} k = 1.
Agora a fórmula proposta dá \dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{1\cdot 2}{2}=1.
Portanto, a igualdade vale para n=1. A base da indução está comprovada.

Passo 4

Parte A — Hipótese indutiva e objetivo: suponha que para um certo n\ge1 valha
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Queremos provar que então vale também
\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Passo 5

Parte A — Passo indutivo, detalhes algébricos (mostrando passo a passo como manipular):
Começamos pela soma até n+1:
\sum_{k=1}^{n+1} k = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) + (n+1).
Usando a hipótese indutiva substituímos a soma até n:
\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1).
Para somar esses termos fazemos um denominador comum 2:
\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}.
Fatoramos (n+1) no numerador:
\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.
Portanto
\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2},
que é exatamente a fórmula esperada para n+1. Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Parte A — Conclusão da indução: tendo verificado a base n=1 e mostrado que da validade em n segue a validade em n+1, pelo princípio da indução finita concluímos que
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\quad \text{para todo } n\ge 1.
Boa! Primeira parte feita.

Passo 7

Parte B — Base da indução para divisibilidade por 3: n=1.
Calculamos:
5^{1}+2\cdot 11^{1} = 5 + 22 = 27.
E 27 é múltiplo de 3 porque 27 = 3\cdot 9. Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 8

Parte B — Hipótese indutiva e objetivo: suponha que, para algum n\ge1,
5^{n}+2\cdot 11^{n}
é divisível por 3. Em termos algébricos, existe um inteiro k tal que
5^{n}+2\cdot 11^{n} = 3k.
Queremos provar que então também
5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1}
é divisível por 3.

Passo 9

Parte B — Passo indutivo, manipulação para usar a hipótese:
Escrevemos a expressão para n+1:
5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1} = 5\cdot 5^{n} + 2\cdot 11\cdot 11^{n} = 5\cdot 5^{n} + 22\cdot 11^{n}.
Agora reescrevemos agrupando um múltiplo da expressão da hipótese:
5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1} = 5\bigl(5^{n}+2\cdot 11^{n}\bigr) + \bigl(22\cdot 11^{n} - 10\cdot 11^{n}\bigr).
Observe que 5\bigl(5^{n}+2\cdot 11^{n}\bigr) = 5\cdot(3k) = 3\cdot(5k), que é múltiplo de 3 por hipótese. O termo restante é
22\cdot 11^{n} - 10\cdot 11^{n} = 12\cdot 11^{n} = 3\cdot\bigl(4\cdot 11^{n}\bigr),
que também é múltiplo de 3.
Assim a soma dos dois termos é múltiplo de 3. Logo 5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1} é divisível por 3. Isso conclui o passo indutivo.

Passo 10

Parte B — Observação alternativa (mais enxuta, só para entender a ideia por outro ângulo): note que 5\equiv 2\pmod{3} e 11\equiv 2\pmod{3}. Então 5^{n}\equiv 2^{n}\pmod{3} e 11^{n}\equiv 2^{n}\pmod{3}, daí
5^{n}+2\cdot 11^{n} \equiv 2^{n} + 2\cdot 2^{n} = 3\cdot 2^{n} \equiv 0\pmod{3},
o que também mostra imediatamente que a expressão é múltipla de 3 para todo n. (Isto é só um comentário didático — a prova por indução já mostrou a propriedade.)

Passo 11

Parte B — Conclusão da indução: como a propriedade vale para n=1 e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução finita concluímos que
5^{n}+2\cdot 11^{n}
é divisível por 3 para todo n\ge 1.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} para todo n\ge 1.
\displaystyle 5^{n}+2\cdot 11^{n} é divisível por 3 para todo n\ge 1.

Exercícios relacionados