Demostre utilizando o Princípio de Indução Finita:
Prove que o termo:
é divisível por
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- Parte A: Mostrar, por indução finita, que
Informação dada: a soma dos primeiros
inteiros positivos (isto é,
) deve ser igual à fórmula acima.
- Parte B: Mostrar que o termo
é divisível por
para todo
.
Informação dada: a expressão fechada deve ser múltiplo de
para qualquer
natural maior ou igual a
.
Informação dada: a expressão fechada
Passo 2
Breve explicação do Princípio da Indução Finita (para eu e você ficarmos alinhados): para provar uma propriedade
para todo
usando indução, seguimos dois passos básicos:
- Base da indução: provar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e, a partir disso, provar que também é verdadeira.
Se os dois passos são cumpridos, a propriedade vale para todo
. Essa é a ideia — vamos aplicar exatamente isso nas duas partes.
Passo 3
Parte A — Base da indução para a soma dos inteiros:
.
Calculamos a soma quando
:
.
Agora a fórmula proposta dá
.
Portanto, a igualdade vale para
. A base da indução está comprovada.
Passo 4
Parte A — Hipótese indutiva e objetivo: suponha que para um certo
valha
Queremos provar que então vale também
Passo 5
Parte A — Passo indutivo, detalhes algébricos (mostrando passo a passo como manipular):
Começamos pela soma até
:
Usando a hipótese indutiva substituímos a soma até
:
Para somar esses termos fazemos um denominador comum
:
Fatoramos
no numerador:
Portanto
que é exatamente a fórmula esperada para
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Parte A — Conclusão da indução: tendo verificado a base
e mostrado que da validade em
segue a validade em
, pelo princípio da indução finita concluímos que
Boa! Primeira parte feita.
Passo 7
Parte B — Base da indução para divisibilidade por
:
.
Calculamos:
E
é múltiplo de
porque
. Logo a propriedade vale para
.
Passo 8
Parte B — Hipótese indutiva e objetivo: suponha que, para algum
,
é divisível por
. Em termos algébricos, existe um inteiro
tal que
Queremos provar que então também
é divisível por
.
Passo 9
Parte B — Passo indutivo, manipulação para usar a hipótese:
Escrevemos a expressão para
:
Agora reescrevemos agrupando um múltiplo da expressão da hipótese:
Observe que
, que é múltiplo de
por hipótese. O termo restante é
que também é múltiplo de
.
Assim a soma dos dois termos é múltiplo de
. Logo
é divisível por
. Isso conclui o passo indutivo.
Passo 10
Parte B — Observação alternativa (mais enxuta, só para entender a ideia por outro ângulo): note que
e
. Então
e
, daí
o que também mostra imediatamente que a expressão é múltipla de
para todo
. (Isto é só um comentário didático — a prova por indução já mostrou a propriedade.)
Passo 11
Parte B — Conclusão da indução: como a propriedade vale para
e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução finita concluímos que
é divisível por
para todo
.