Considere uma amostra de extratos de malte (em g / 100 g de sacarina sódica) de n=8 barris da Cervejaria Guinness:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
133,82 132,66 133,22 133,38 133,24 132,94 133,91 132,94
a. Calcule a média amostral barX dos extratos de malte.
b. Calcule a variância amostral S^2.
c. Calcule o desvio padrão amostral S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular três coisas diferentes sobre os extratos de malte da Cervejaria Guinness: a média amostral ( barX), a variância amostral ( S^2) e o desvio padrão amostral ( S). Isso tudo está dentro do conteúdo de estatística descritiva, onde a gente olha para os dados que temos para entender melhor. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas básicas de média, variância e desvio padrão, além de entender o que cada uma dessas medidas representa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barX). A média é basicamente o valor central dos seus dados, dá uma ideia de onde, em geral, os valores estão concentrados.
A fórmula da média amostral é:
barX = 1n sumi=1^n Xi
Onde:
  • n é o número de observações (neste caso, 8 barris).
  • Xi são os valores individuais dos extratos de malte.
Vamos somar todos os valores e dividir pelo número de barris:
barX = 133,82 + 132,66 + 133,22 + 133,38 + 133,24 + 132,94 + 133,91 + 132,948
Calculando isso:
barX = (133,82 + 132,66 + 133,22 + 133,38 + 133,24 + 132,94 + 133,91 + 132,94)8 = 1064,218 = 133,02625

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância amostral ( S^2). A variância nos diz o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Uma variação alta significa que os valores estão bem distribuídos, enquanto uma variação baixa indica que estão mais próximos da média.
A fórmula da variância amostral é:
S^2 = 1n-1 sumi=1^n (Xi - barX)^2
Aqui, usamos n-1 no denominador porque estamos trabalhando com uma amostra, não com a população inteira.
Vamos calcular cada (Xi - barX)^2:
  1. (133,82 - 133,02625)^2 = (0,79375)^2 ≈ 0,630
  2. (132,66 - 133,02625)^2 = (-0,36625)^2 ≈ 0,135
  3. (133,22 - 133,02625)^2 = (0,19375)^2 ≈ 0,0375
  4. (133,38 - 133,02625)^2 = (0,35375)^2 ≈ 0,125
  5. (133,24 - 133,02625)^2 = (0,21375)^2 ≈ 0,0457
  6. (132,94 - 133,02625)^2 = (-0,08625)^2 ≈ 0,0075
  7. (133,91 - 133,02625)^2 = (0,88375)^2 ≈ 0,7815
  8. (132,94 - 133,02625)^2 = (-0,08625)^2 ≈ 0,0075
Somando tudo:
0,630 + 0,135 + 0,0375 + 0,125 + 0,0457 + 0,0075 + 0,7815 + 0,0075 ≈ 1,7492
Agora, dividimos por n-1 = 7:
S^2 = 1,74927 ≈ 0,2499

Passo 4

Por último, vamos calcular o desvio padrão amostral ( S). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma ideia de quanto, em média, os valores se desviam da média. É útil porque está na mesma unidade dos dados originais.
A fórmula é:
S = raizS^2
Usando a variância que calculamos:
S = raiz0,2499 ≈ 0,4999

Resposta

a. A média amostral barX dos extratos de malte é aproximadamente 133,026 g/100g.
b. A variância amostral S^2 é aproximadamente 0,25 (g/100g)².
c. O desvio padrão amostral S é aproximadamente 0,50 g/100g.

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