Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que
das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2 . A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
(a) Duas peças defeituosas?
(a) Duas peças defeituosas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidade envolvendo duas máquinas que produzem peças eletrônicas. A máquina 1 produz o dobro de peças que a máquina 2. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são. Queremos saber qual é a chance de, ao pegar 20 peças aleatórias, exatamente duas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a proporção total de peças defeituosas na produção combinada das duas máquinas. Como a máquina 1 produz o dobro que a máquina 2, vamos supor que a máquina 2 produz
peças. Então, a máquina 1 produz
peças. O total de peças produzidas é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de peças defeituosas de cada máquina:
- Máquina 1:
peças * 4% defeituosas = peças defeituosas. - Máquina 2:
peças * 7% defeituosas = peças defeituosas.
Passo 4
Somando as peças defeituosas das duas máquinas, temos
peças defeituosas no total.
Passo 5
A proporção geral de peças defeituosas na produção combinada é:
Então, 5% das peças produzidas são defeituosas.
Passo 6
Agora, queremos calcular a probabilidade de, ao selecionar 20 peças aleatórias, exatamente 2 serem defeituosas. Aqui, usamos a Distribuição Binomial, que é adequada quando temos eventos independentes com duas possíveis saídas (defeituoso ou não), uma probabilidade fixa de sucesso (no caso, defeito) e um número fixo de tentativas (peças selecionadas).
Passo 7
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
(número de peças selecionadas), -
(número de peças defeituosas desejadas), -
(probabilidade de uma peça ser defeituosa).
Passo 8
Calculando o coeficiente binomial
:
Passo 9
Agora, aplicamos na fórmula:
Passo 10
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que, ao selecionar 20 peças aleatórias, exatamente duas sejam defeituosas é de aproximadamente 17,9%.