Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que 4 % das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7 % de defeituosas são produzidas pela máquina 2 . A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
(a) Duas peças defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidade envolvendo duas máquinas que produzem peças eletrônicas. A máquina 1 produz o dobro de peças que a máquina 2. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são. Queremos saber qual é a chance de, ao pegar 20 peças aleatórias, exatamente duas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a proporção total de peças defeituosas na produção combinada das duas máquinas. Como a máquina 1 produz o dobro que a máquina 2, vamos supor que a máquina 2 produz peças. Então, a máquina 1 produz peças. O total de peças produzidas é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de peças defeituosas de cada máquina:
  • Máquina 1: peças * 4% defeituosas = peças defeituosas.
  • Máquina 2: peças * 7% defeituosas = peças defeituosas.

Passo 4

Somando as peças defeituosas das duas máquinas, temos peças defeituosas no total.

Passo 5

A proporção geral de peças defeituosas na produção combinada é:
0,15x3x = 0,05 ou 5%
Então, 5% das peças produzidas são defeituosas.

Passo 6

Agora, queremos calcular a probabilidade de, ao selecionar 20 peças aleatórias, exatamente 2 serem defeituosas. Aqui, usamos a Distribuição Binomial, que é adequada quando temos eventos independentes com duas possíveis saídas (defeituoso ou não), uma probabilidade fixa de sucesso (no caso, defeito) e um número fixo de tentativas (peças selecionadas).

Passo 7

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • (número de peças selecionadas),
  • (número de peças defeituosas desejadas),
  • (probabilidade de uma peça ser defeituosa).

Passo 8

Calculando o coeficiente binomial binom202 = 20!2!(20-2)! = 20 times 192 times 1 = 190 :

Passo 9

Agora, aplicamos na fórmula:
P(X = 2) = 190 times (0,05)^2 times (0,95)^18

Passo 10

Vamos calcular cada parte:
(0,05)^2 = 0,0025
(0,95)^18 approx 0,377
Multiplicando tudo:
P(X = 2) = 190 times 0,0025 times 0,377 approx 190 times 0,0009425 approx 0,179

Resposta

A probabilidade de que, ao selecionar 20 peças aleatórias, exatamente duas sejam defeituosas é de aproximadamente 17,9%.

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