Considere um anel maciço de raio R e massa M. Colocamos uma partícula de massa m a uma distância d do plano do anel de modo que quando solto o corpo tem trajetória sobre a reta perpendicular ao plano do anel passando pelo centro do mesmo. Calcule o movimento do corpo de massa m(ll M).

Passo 1

O enunciado diz: temos um anel maciço de raio e massa . Uma partícula de massa (com ) é colocada sobre o eixo perpendicular ao plano do anel, a uma distância inicial do centro, e solta sem velocidade inicial. Queremos achar o movimento dessa partícula ao longo do eixo.
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e Conservação de Energia Mecânica.
O que precisamos:
  1. Expressão do potencial gravitacional de um anel sobre um ponto do eixo.
  2. Força a partir do potencial.
  3. Equação de movimento (Newton) ou conservação de energia.

Passo 2

Primeiro achamos o potencial gravitacional U(z);=;-,G,M,mraizR^2+z^2, de um anel de massa sobre uma partícula de massa a uma distância do plano do anel.
Fórmula conhecida (e fácil de derivar por simetria):
Aqui é a constante gravitacional.

Passo 3

A força ao longo do eixo Fz,=, -dUdz ;=;-,ddz l(-G,M,mraizR^2+z^2r) ;=;-,G,M,m,z(R^2+z^2)^3/2 é
O sinal “-” mostra que a força puxa a partícula em direção ao centro do anel ( ).

Passo 4

Pela Segunda Lei de Newton ao longo de m,d^2 zdt^2 ;=;Fz ;=;-,G,M,m,z(R^2+z^2)^3/2 :
E ;=;12,m,dot z^2 ;+; U(z)
Mas em vez de resolver direto essa ODE complicada, usamos conservação de energia. A energia mecânica total E ;=; 0 ;+;l(-G,M,mraizR^2+d^2r) ;=;-,G,M,mraizR^2+d^2 vale:
No instante inicial , e , logo

Passo 5

Igualando energia em geral com a inicial:
12,m,dot z^2 - G,M,mraizR^2+z^2 ;=;-,G,M,mraizR^2+d^2
Isolando dot z ;=;dzdt ;=;pmraiz 2,G,M, l(1raizR^2+d^2-1raizR^2+z^2r) , :
t(z) =integrald^,zdu !-raiz2GMl(1raizR^2+d^2-1raizR^2+u^2r)
Escolhemos o sinal “ T =2integral-d^ddz raiz2GMl(1raizR^2+d^2-1raizR^2+z^2r) ” na descida (de para 0) e “ ” na subida.
Para achar em função de basta separar variáveis:
Em geral esse integral dá uma função elíptica, ou pode ser usado para achar o período de oscilação completa:

Resposta

A partícula se move ao longo do eixo segundo
mddot z ;=;-,G M m,z(R^2+z^2)^3/2 Longrightarrow dot z =pmraiz2GMl(tfrac1raizR^2+d^2-tfrac1raizR^2+z^2r),,
com a solução implícita em termos de integral elíptica
t(z) =integrald^,z du -raiz2GMl(1raizR^2+d^2-1raizR^2+u^2r)
O movimento é periódico, com período
T =2integral-d^ddz raiz2GMl(1raizR^2+d^2-1raizR^2+z^2r)

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