Considere um anel maciço de raio R e massa M. Colocamos uma partícula de massa m a uma distância d do plano do anel de modo que quando solto o corpo tem trajetória sobre a reta perpendicular ao plano do anel passando pelo centro do mesmo. Calcule o movimento do corpo de massa
.
Passo 1
O enunciado diz: temos um anel maciço de raio
e massa
. Uma partícula de massa
(com
) é colocada sobre o eixo perpendicular ao plano do anel, a uma distância inicial
do centro, e solta sem velocidade inicial. Queremos achar o movimento dessa partícula ao longo do eixo.
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e Conservação de Energia Mecânica.
O que precisamos:
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e Conservação de Energia Mecânica.
O que precisamos:
- Expressão do potencial gravitacional de um anel sobre um ponto do eixo.
- Força a partir do potencial.
- Equação de movimento (Newton) ou conservação de energia.
Passo 2
Primeiro achamos o potencial gravitacional
de um anel de massa
sobre uma partícula de massa
a uma distância
do plano do anel.
Fórmula conhecida (e fácil de derivar por simetria):
Fórmula conhecida (e fácil de derivar por simetria):
Aqui
é a constante gravitacional.
Passo 3
A força ao longo do eixo
é
O sinal “-” mostra que a força puxa a partícula em direção ao centro do anel (
).
Passo 4
Pela Segunda Lei de Newton ao longo de
:
Mas em vez de resolver direto essa ODE complicada, usamos conservação de energia. A energia mecânica total
vale:
No instante inicial
,
e
, logo
Passo 5
Igualando energia em geral com a inicial:
Isolando
:
Escolhemos o sinal “
” na descida (de
para 0) e “
” na subida.
Para achar em função de
basta separar variáveis:
Para achar
Em geral esse integral dá uma função elíptica, ou pode ser usado para achar o período de oscilação completa:
Resposta
A partícula se move ao longo do eixo segundo
com a solução implícita em termos de integral elíptica
O movimento é periódico, com período