Considere um anel de massa M e raio R e uma partícula de massa m colocada no seu centro. Qual é a freqüência para oscilações de pequena amplitude na direção perpendicular ao plano do anel?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é um anel fino de massa
e raio
e uma partícula de massa
bem ali no centro. A pergunta: se a gente empurrar levemente essa partícula para cima e soltar, ela vai oscilar em
(perpendicular ao plano do anel). Queremos achar a frequência dessas pequenas oscilações.
Conteúdo da matéria: Gravitação newtoniana (potencial gravitacional) e os “pequenos deslocamentos” para achar oscilações harmônicas (usando expansão em série e a fórmula ).
Conteúdo da matéria: Gravitação newtoniana (potencial gravitacional) e os “pequenos deslocamentos” para achar oscilações harmônicas (usando expansão em série e a fórmula
Passo 2
Primeiro precisamos do potencial gravitacional que o anel cria no eixo. Pra uma distância
do centro, o potencial é
onde
é a constante gravitacional. Aqui o “zero” de energia tá em
.
Passo 3
Como queremos oscilações pequenas, ou seja
, expandimos
em série de Taylor:
Substituindo em
:
(usamos
para
).
Passo 4
Reorganizando,
A parte constante não importa para o movimento. O termo em
é igual a
, logo
Passo 5
Para pequenas oscilações harmônicas numa direção, a frequência angular
satisfaz
ou seja
Daí a frequência própria (cycles por segundo) é
Resposta
A frequência das pequenas oscilações perpendiculares ao plano do anel é