Considere um anel de massa M e raio R e uma partícula de massa m colocada no seu centro. Qual é a freqüência para oscilações de pequena amplitude na direção perpendicular ao plano do anel?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é um anel fino de massa e raio e uma partícula de massa bem ali no centro. A pergunta: se a gente empurrar levemente essa partícula para cima e soltar, ela vai oscilar em (perpendicular ao plano do anel). Queremos achar a frequência dessas pequenas oscilações.
Conteúdo da matéria: Gravitação newtoniana (potencial gravitacional) e os “pequenos deslocamentos” para achar oscilações harmônicas (usando expansão em série e a fórmula ).

Passo 2

Primeiro precisamos do potencial gravitacional que o anel cria no eixo. Pra uma distância U(z) ;=;-,G,M,mraizR^2+z^2,, do centro, o potencial é
onde é a constante gravitacional. Aqui o “zero” de energia tá em .

Passo 3

Como queremos oscilações pequenas, ou seja raizR^2+z^2 =R,raiz1+z^2R^2 approx R!(1 + 12z^2R^2 - cdots) =R + z^22R + cdots , expandimos U(z)approx -G,M,mR + z^22R approx -GM,mR,11 + z^22R^2 approx -G,M,mR(1 - z^22R^2) em série de Taylor:
Substituindo em :
(usamos para ).

Passo 4

Reorganizando,
U(z)approx -G,M,mR ;+; G,M,m2R^3,z^2,
A parte constante não importa para o movimento. O termo em krm eff ;=; G,M,mR^3,times2 times 12 ;=; G,M,mR^3, é igual a , logo

Passo 5

Para pequenas oscilações harmônicas numa direção, a frequência angular omega^2 = krm effm = G,M,m/R^3m = G,MR^3,, satisfaz
omega = raizG,MR^3,
ou seja
f = omega2pi = 12pi,raizG,MR^3,
Daí a frequência própria (cycles por segundo) é

Resposta

A frequência das pequenas oscilações perpendiculares ao plano do anel é
boxed,f = 12pi,raizG,MR^3,

Exercícios relacionados