Considere um anel de raio a, uniformemente carregado, de carga total Q_{0}, no plano x y e centrado na origem. Mostre que a força por ele exercida sobre uma carga -q colocada a uma altura z sobre o eixo que passa no centro do anel
\vec{F}=-K q Q_{0} \frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Um anel de raio a está no plano xy, centrado na origem, com carga total uniformemente distribuída Q_{0}.
  • Uma carga puntual -q (ou seja, magnitude q>0 com sinal negativo) é colocada sobre o eixo do anel a uma altura z (ponto (0,0,z)).
  • A constante eletrostática é K (por exemplo K=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, se for esse o caso).
  • O que se pede: mostrar que a força que o anel exerce sobre a carga -q é
\vec{F}=-K q Q_{0} \frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o campo elétrico gerado pelo anel no ponto (0,0,z) e depois usar a lei da força eletrostática \vec{F}= (carga do corpo) \times (campo elétrico). Vou introduzir uma densidade linear de carga do anel:
\lambda=\frac{Q_{0}}{2\pi a},
pois a carga está distribuída uniformemente ao longo do comprimento total 2\pi a. Um elemento de comprimento do anel é \,d\ell=a\,d\varphi (onde \varphi é o ângulo polar no plano do anel) e portanto um elemento de carga vale
dq=\lambda\,d\ell=\lambda a\,d\varphi.

Passo 3

Aplique a lei de Coulomb para o elemento dq. A distância do elemento dq no anel até o ponto (0,0,z) é a mesma para todo o anel e vale
r=\sqrt{a^{2}+z^{2}}.
A contribuição de módulo do campo elétrico criada por dq no ponto é
dE=\frac{K\,dq}{r^{2}},
onde K é a constante eletrostática. Esse vetor d\vec{E} aponta da carga dq para o ponto (ou no sentido oposto, dependendo do sinal de dq); para o módulo usamos esta fórmula e depois fazemos a decomposição de direção.

Passo 4

Por simetria, as componentes do campo no plano xy (radiais) produzidas por todos os elementos do anel se cancelam: para cada elemento em ângulo \varphi há um elemento oposto em \varphi+\pi cuja componente horizontal é oposta. Portanto só resta a componente na direção do eixo z. A componente axial (no sentido de \hat{z}) do campo criada por dq é
dE_{z}=dE\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre a linha que liga dq ao ponto e o eixo z. Observe que
\cos\theta=\frac{z}{r}.
Substituindo dE e \cos\theta,
dE_{z}=\frac{K\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r} =\frac{K\,z\,dq}{r^{3}}.

Passo 5

Agora some as contribuições de todos os elementos dq ao longo do anel. Como r e z são constantes (independentes de \varphi) e \int dq=Q_{0}, temos
E_{z}=\int dE_{z}=\frac{K\,z}{r^{3}}\int dq=\frac{K\,z\,Q_{0}}{r^{3}}.
Substituindo r=\sqrt{a^{2}+z^{2}} obtemos
E_{z}=\frac{K\,Q_{0}\,z}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
O vetor campo no ponto é então
\vec{E}=E_{z}\,\hat{z}=\frac{K\,Q_{0}\,z}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\hat{z}.
(Aqui o sinal segue de z: para z>0 o campo de um anel com Q_{0}>0 aponta para +\hat{z}; para z<0 o valor de z leva o campo para o sentido oposto.)

Passo 6

Finalmente, a força sobre a carga localizada é o produto da carga pelo campo. A carga dada no enunciado é -q. Logo
\vec{F}=(-q)\,\vec{E} =-q\left(\frac{K\,Q_{0}\,z}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\hat{z}\right) =-K q Q_{0} \frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}.
Isso coincide exatamente com a expressão pedida.

Resposta

\vec{F}=-K q Q_{0} \frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}

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