Considere um anel de raio
, uniformemente carregado, de carga total
, no plano
e centrado na origem. Mostre que a força por ele exercida sobre uma carga
colocada a uma altura
sobre o eixo que passa no centro do anel
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Um anel de raio
está no plano , centrado na origem, com carga total uniformemente distribuída . - Uma carga puntual
(ou seja, magnitude com sinal negativo) é colocada sobre o eixo do anel a uma altura (ponto ). - A constante eletrostática é
(por exemplo , se for esse o caso). - O que se pede: mostrar que a força que o anel exerce sobre a carga
é
Passo 2
Vamos calcular primeiro o campo elétrico gerado pelo anel no ponto
e depois usar a lei da força eletrostática
(carga do corpo)
(campo elétrico). Vou introduzir uma densidade linear de carga do anel:
pois a carga está distribuída uniformemente ao longo do comprimento total
. Um elemento de comprimento do anel é
(onde
é o ângulo polar no plano do anel) e portanto um elemento de carga vale
Passo 3
Aplique a lei de Coulomb para o elemento
. A distância do elemento
no anel até o ponto
é a mesma para todo o anel e vale
A contribuição de módulo do campo elétrico criada por
no ponto é
onde
é a constante eletrostática. Esse vetor
aponta da carga
para o ponto (ou no sentido oposto, dependendo do sinal de
); para o módulo usamos esta fórmula e depois fazemos a decomposição de direção.
Passo 4
Por simetria, as componentes do campo no plano
(radiais) produzidas por todos os elementos do anel se cancelam: para cada elemento em ângulo
há um elemento oposto em
cuja componente horizontal é oposta. Portanto só resta a componente na direção do eixo
. A componente axial (no sentido de
) do campo criada por
é
onde
é o ângulo entre a linha que liga
ao ponto e o eixo
. Observe que
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora some as contribuições de todos os elementos
ao longo do anel. Como
e
são constantes (independentes de
) e
, temos
Substituindo
obtemos
O vetor campo no ponto é então
(Aqui o sinal segue de
: para
o campo de um anel com
aponta para
; para
o valor de
leva o campo para o sentido oposto.)
Passo 6
Finalmente, a força sobre a carga localizada é o produto da carga pelo campo. A carga dada no enunciado é
. Logo
Isso coincide exatamente com a expressão pedida.