Quatro partículas idênticas, todas de carga q e mass m, são penduradas a partir do mesmo ponto por fios inextensíveis de comprimento L_{0}, sob ação da gravidade g. Uma vez estabelecido o equilíbrio o sistema forma uma pirâmide de base quadrada de lado x. Assuma que o ângulo que cada fio forma com o eixo vertical é pequeno. Nestas condições mostre então que x é determinado pela relação
x^{3}=\left(1+\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) 2 L_{0} \frac{K q^{2}}{m g}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar bem claro o que é conhecido e o que se pede):
  • Quatro partículas idênticas, cada uma com carga q e massa m, estão presas ao mesmo ponto por fios inextensíveis de comprimento L_{0}.
  • Sob a ação da gravidade g o sistema atinge equilíbrio e as quatro cargas ocupam os vértices de uma base quadrada de lado x, formando uma pirâmide com o ponto de suspensão no vértice superior.
  • Assume-se que o ângulo \theta que cada fio forma com a vertical é pequeno.
  • A constante eletrostática é dada por K (ou seja, a força Coulomb entre duas cargas separadas por distância d tem módulo F=Kq^{2}/d^{2}).
    O que o enunciado pede:
  • Mostrar que o lado x da base quadrada satisfaz a relação
x^{3}=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)2L_{0}\frac{Kq^{2}}{mg}.

Passo 2

Entender as forças sobre uma única carga e a geometria da base.
  • Por simetria, basta analisar uma das partículas, por exemplo a que está em um vértice do quadrado.
  • Coloque o centro do quadrado na origem do plano horizontal. Se o lado do quadrado é x, então as coordenadas dos vértices são (\pm x/2,\pm x/2). Considere a partícula na posição (a,a) com a=x/2.
  • Distâncias entre essa partícula e as outras:
    • Partícula à esquerda (-a,a): separação (2a,0) de módulo 2a=x.
    • Partícula abaixo (a,-a): separação (0,2a) de módulo 2a=x.
    • Partícula oposta (-a,-a): separação (2a,2a) de módulo 2\sqrt{a^{2}+a^{2}}=x\sqrt{2}.
  • A posição do vértice em relação ao centro tem raio radial (distância do centro ao vértice)
R=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}.
  • Explicação física rápida: em equilíbrio a soma vetorial das forças sobre a carga é zero. Isso envolve peso mg (vertical para baixo), tensão do fio T ao longo do fio (direção que faz ângulo \theta com a vertical) e as forças eletrostáticas de repulsão das outras três cargas (todas no plano horizontal).

Passo 3

Calcular o resultado vetorial das forças eletrostáticas no plano horizontal (componentes).
  • Força da partícula à esquerda (separação x) tem módulo
F_{\text{adj}}=\frac{Kq^{2}}{x^{2}}
e aponta puramente na direção positiva x (repulsão).
  • Força da partícula abaixo (separação x) tem mesmo módulo F_{\text{adj}} e aponta puramente na direção positiva y.
  • Força da partícula oposta (separação x\sqrt{2}) tem módulo
F_{\text{opp}}=\frac{Kq^{2}}{(x\sqrt{2})^{2}}=\frac{Kq^{2}}{2x^{2}}.
Essa última força aponta ao longo da direção (1,1) (ou seja, com componentes iguais nas direções x e y). A componente em x (ou em y) dessa força é
\frac{F_{\text{opp}}}{\sqrt{2}}=\frac{Kq^{2}}{2x^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{Kq^{2}}{2\sqrt{2}\,x^{2}}.
  • Somando as componentes vetoriais horizontais (e lembrando que, por simetria, as componentes x e y são iguais), a componente total na direção x é
F_{x}= \frac{Kq^{2}}{x^{2}}+\frac{Kq^{2}}{2\sqrt{2}\,x^{2}}=\frac{Kq^{2}}{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
  • Como as componentes x e y são iguais, o módulo da resultante horizontal (a força eletrostática total no plano horizontal) é
F_{\text{h}}=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{x}^{2}}=\sqrt{2}\,F_{x} =\sqrt{2}\,\frac{Kq^{2}}{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).

Passo 4

Escrever as condições de equilíbrio vertical e horizontal (forças).
  • Para equilíbio vertical: a componente vertical da tensão cancela o peso, isto é
T\cos\theta = mg.
  • Para equilíbio horizontal: a componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática resultante:
T\sin\theta = F_{\text{h}}.
  • Estas duas equações juntas permitem eliminar T: dividindo a segunda pela primeira dá
\tan\theta=\frac{F_{\text{h}}}{mg}.

Passo 5

Usar a aproximação de ângulo pequeno e relacionar \theta com a geometria da pirâmide.
  • Para ângulo pequeno vale \tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta.
  • Geometricamente, a projeção horizontal do fio é R=\dfrac{x}{\sqrt{2}} e o comprimento do fio é L_{0}, de modo que para pequenos \theta
\sin\theta\approx\frac{R}{L_{0}}=\frac{x}{\sqrt{2}\,L_{0}}.
  • Também, da equação vertical podemos aproximar T\approx mg porque \cos\theta\approx1 quando \theta é pequeno; portanto T\sin\theta \approx mg\sin\theta.
  • Substituindo a aproximação em \tan\theta obtemos
\frac{x}{\sqrt{2}\,L_{0}}\approx\frac{F_{\text{h}}}{mg}.

Passo 6

Substituir F_{\text{h}} e resolver para x.
  • Lembrando que
F_{\text{h}}=\sqrt{2}\,\frac{Kq^{2}}{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right),
colocando isso na igualdade do passo anterior:
\frac{x}{\sqrt{2}\,L_{0}}=\frac{1}{mg}\,\sqrt{2}\,\frac{Kq^{2}}{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
  • Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} simplifica:
\frac{x}{L_{0}}=\frac{2}{mg}\,\frac{Kq^{2}}{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
  • Reorganizando para isolar x^{3}:
\frac{mg}{L_{0}}\,x^{3}=2Kq^{2}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right),
portanto
x^{3}=2L_{0}\frac{Kq^{2}}{mg}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).

Resposta

x^{3}=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)2L_{0}\frac{Kq^{2}}{mg}.

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