Quatro partículas idênticas, todas de carga
e mass
, são penduradas a partir do mesmo ponto por fios inextensíveis de comprimento
, sob ação da gravidade
. Uma vez estabelecido o equilíbrio o sistema forma uma pirâmide de base quadrada de lado
. Assuma que o ângulo que cada fio forma com o eixo vertical é pequeno. Nestas condições mostre então que
é determinado pela relação
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou listar bem claro o que é conhecido e o que se pede):
- Quatro partículas idênticas, cada uma com carga
e massa , estão presas ao mesmo ponto por fios inextensíveis de comprimento . - Sob a ação da gravidade
o sistema atinge equilíbrio e as quatro cargas ocupam os vértices de uma base quadrada de lado , formando uma pirâmide com o ponto de suspensão no vértice superior. - Assume-se que o ângulo
que cada fio forma com a vertical é pequeno. - A constante eletrostática é dada por
(ou seja, a força Coulomb entre duas cargas separadas por distância tem módulo ).
O que o enunciado pede: - Mostrar que o lado
da base quadrada satisfaz a relação
Passo 2
Entender as forças sobre uma única carga e a geometria da base.
- Por simetria, basta analisar uma das partículas, por exemplo a que está em um vértice do quadrado.
- Coloque o centro do quadrado na origem do plano horizontal. Se o lado do quadrado é
, então as coordenadas dos vértices são . Considere a partícula na posição com . - Distâncias entre essa partícula e as outras:
- Partícula à esquerda
: separação de módulo . - Partícula abaixo
: separação de módulo . - Partícula oposta
: separação de módulo .
- Partícula à esquerda
- A posição do vértice em relação ao centro tem raio radial (distância do centro ao vértice)
- Explicação física rápida: em equilíbrio a soma vetorial das forças sobre a carga é zero. Isso envolve peso
(vertical para baixo), tensão do fio ao longo do fio (direção que faz ângulo com a vertical) e as forças eletrostáticas de repulsão das outras três cargas (todas no plano horizontal).
Passo 3
Calcular o resultado vetorial das forças eletrostáticas no plano horizontal (componentes).
- Força da partícula à esquerda (separação
) tem módulo
e aponta puramente na direção positiva
(repulsão).
- Força da partícula abaixo (separação
) tem mesmo módulo e aponta puramente na direção positiva . - Força da partícula oposta (separação
) tem módulo
Essa última força aponta ao longo da direção
(ou seja, com componentes iguais nas direções
e
). A componente em
(ou em
) dessa força é
- Somando as componentes vetoriais horizontais (e lembrando que, por simetria, as componentes
e são iguais), a componente total na direção é
- Como as componentes
e são iguais, o módulo da resultante horizontal (a força eletrostática total no plano horizontal) é
Passo 4
Escrever as condições de equilíbrio vertical e horizontal (forças).
- Para equilíbio vertical: a componente vertical da tensão cancela o peso, isto é
- Para equilíbio horizontal: a componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática resultante:
- Estas duas equações juntas permitem eliminar
: dividindo a segunda pela primeira dá
Passo 5
Usar a aproximação de ângulo pequeno e relacionar
com a geometria da pirâmide.
- Para ângulo pequeno vale
. - Geometricamente, a projeção horizontal do fio é
e o comprimento do fio é , de modo que para pequenos
- Também, da equação vertical podemos aproximar
porque quando é pequeno; portanto . - Substituindo a aproximação em
obtemos
Passo 6
Substituir
e resolver para
.
- Lembrando que
colocando isso na igualdade do passo anterior:
- Multiplicando ambos os lados por
simplifica:
- Reorganizando para isolar
:
portanto