Considere o problema da partícula de carga q e massa m lançada a partir da origem, no campo uniforme vertical para baixo E_{0}, discutido em sala. Demonstre a fórmula do alcance para esta situação,
x(\theta)=\frac{m v_{0}}{q E_{0}} \operatorname{sen} 2 \theta
sendo \theta o ângulo de inclinação da velocidade inicial \left(v_{0}\right) com relação à horizontal. Qual ângulo fornece alcance máximo?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados: uma partícula de carga q e massa m é lançada a partir da origem com velocidade inicial de módulo v_{0} que faz o ângulo \theta com a horizontal. Há um campo elétrico uniforme vertical para baixo de magnitude E_{0}.
  • Pedidos:
    1. Demonstrar a fórmula do alcance horizontal x(\theta) (alcance = posição x quando a partícula volta a y=0).
    2. Determinar qual valor de \theta fornece alcance máximo.

Passo 2

Escolha de convenções e expressão da aceleração:
  • Tome o eixo x para a direita (horizontal) e o eixo y para cima (vertical).
  • O campo elétrico vale \vec{E}=-E_{0}\,\hat{y} (para baixo). A força elétrica sobre a carga é \vec{F}=q\vec{E}=-qE_{0}\,\hat{y}.
  • A aceleração resultante é \vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}=-\dfrac{qE_{0}}{m}\,\hat{y}.
    Expliquei: \vec{F} é a força elétrica (lei \vec F = q\vec E), e \vec a vem da segunda lei de Newton \vec F = m\vec a. O sinal negativo indica que a aceleração está para baixo (no sentido -\hat y). Nesta dedução estou assumindo que qE_0>0 (ou seja, a força tem sentido para baixo); se qE_0<0 a força seria para cima e o raciocínio do tempo de voo até a volta a y=0 muda.

Passo 3

Componentes da velocidade inicial e interpretação:
  • Decomponha a velocidade inicial em componentes: v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Expliquei: \cos\theta projeta v_0 na horizontal e \sin\theta projeta na vertical (para cima, porque \theta é medido a partir da horizontal).

Passo 4

Equações do movimento no tempo:
  • Como não há força horizontal, a aceleração horizontal é zero, logo a posição x(t) é x(t)=v_{0x}\,t=v_{0}\cos\theta\;t.
  • Na vertical há aceleração constante -\dfrac{qE_{0}}{m}, portanto a posição vertical é y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}\left(\dfrac{qE_{0}}{m}\right)t^{2}=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}\dfrac{qE_{0}}{m}\,t^{2}.
Expliquei: usei as fórmulas do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) para cada direção.

Passo 5

Determinação do tempo de voo T (tempo positivo diferente de zero em que a partícula volta para y=0):
  • Impor y(T)=0 com T>0: v_{0}\sin\theta\;T-\tfrac{1}{2}\dfrac{qE_{0}}{m}\,T^{2}=0.
  • Fatore T: T\left(v_{0}\sin\theta-\tfrac{1}{2}\dfrac{qE_{0}}{m}\,T\right)=0.
  • A solução trivial T=0 é o instante inicial; a solução não trivial é v_{0}\sin\theta-\tfrac{1}{2}\dfrac{qE_{0}}{m}\,T=0 \quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{2\,m\,v_{0}\sin\theta}{qE_{0}}.
Expliquei os passos algébricos: isolei T da equação quadrática dividindo por constantes.
Observação importante: esta expressão para T exige que \dfrac{qE_{0}}{m}>0 para que T>0 quando \sin\theta>0. Isso corresponde à situação física em que a aceleração aponta para baixo (como foi dito no enunciado). Se q fosse negativo o sinal mudaria e a partícula poderia não retornar ao solo.

Passo 6

Cálculo do alcance x(\theta):
  • O alcance é x(T). Substituindo T na expressão de x(t): x(\theta)=v_{0}\cos\theta\;T =v_{0}\cos\theta\cdot\dfrac{2\,m\,v_{0}\sin\theta}{qE_{0}}.
  • Agrupando termos: x(\theta)=\dfrac{2\,m\,v_{0}^{2}}{qE_{0}}\sin\theta\cos\theta.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta, obtemos: x(\theta)=\dfrac{m\,v_{0}^{2}}{qE_{0}}\sin 2\theta.
Expliquei: escrevi 2\sin\theta\cos\theta como \sin 2\theta para ficar na forma compacta pedida.
Observação: a forma correta obtida tem v_{0}^{2} no numerador. Se no enunciado apareceu apenas m v_{0}/(qE_{0}) isso parece ser um erro tipográfico — a derivação mostra que o fator é m v_0^{2}/(qE_0).

Passo 7

Ângulo que dá alcance máximo:
  • A expressão depende de \theta apenas por \sin 2\theta. A função \sin tem máximo igual a 1.
  • Assim o máximo de x(\theta) ocorre quando \sin 2\theta=1, isto é quando 2\theta=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{4}.
  • Em graus, \theta=45^\circ.
    Expliquei: não foi necessário derivar; basta saber o máximo da função seno.

Resposta

x(\theta)=\dfrac{m\,v_{0}^{2}}{qE_{0}}\sin 2\theta
\theta_{\text{máx}}=\dfrac{\pi}{4}\quad(45^\circ)á

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