Considere o problema da partícula de carga
e massa
lançada a partir da origem, no campo uniforme vertical para baixo
, discutido em sala. Demonstre a fórmula do alcance para esta situação,
sendo
o ângulo de inclinação da velocidade inicial
com relação à horizontal. Qual ângulo fornece alcance máximo?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados: uma partícula de carga
e massa é lançada a partir da origem com velocidade inicial de módulo que faz o ângulo com a horizontal. Há um campo elétrico uniforme vertical para baixo de magnitude . - Pedidos:
- Demonstrar a fórmula do alcance horizontal
(alcance = posição quando a partícula volta a ). - Determinar qual valor de
fornece alcance máximo.
- Demonstrar a fórmula do alcance horizontal
Passo 2
Escolha de convenções e expressão da aceleração:
- Tome o eixo
para a direita (horizontal) e o eixo para cima (vertical). - O campo elétrico vale
(para baixo). A força elétrica sobre a carga é . - A aceleração resultante é
.
Expliquei:é a força elétrica (lei ), e vem da segunda lei de Newton . O sinal negativo indica que a aceleração está para baixo (no sentido ). Nesta dedução estou assumindo que (ou seja, a força tem sentido para baixo); se a força seria para cima e o raciocínio do tempo de voo até a volta a muda.
Passo 3
Componentes da velocidade inicial e interpretação:
- Decomponha a velocidade inicial em componentes:
Expliquei:
projeta
na horizontal e
projeta na vertical (para cima, porque
é medido a partir da horizontal).
Passo 4
Equações do movimento no tempo:
- Como não há força horizontal, a aceleração horizontal é zero, logo a posição
é - Na vertical há aceleração constante
, portanto a posição vertical é
Expliquei: usei as fórmulas do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) para cada direção.
Passo 5
Determinação do tempo de voo
(tempo positivo diferente de zero em que a partícula volta para
):
- Impor
com : - Fatore
: - A solução trivial
é o instante inicial; a solução não trivial é
Expliquei os passos algébricos: isolei
da equação quadrática dividindo por constantes.
Observação importante: esta expressão para
exige que
para que
quando
. Isso corresponde à situação física em que a aceleração aponta para baixo (como foi dito no enunciado). Se
fosse negativo o sinal mudaria e a partícula poderia não retornar ao solo.
Passo 6
Cálculo do alcance
:
- O alcance é
. Substituindo na expressão de : - Agrupando termos:
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos:
Expliquei: escrevi
como
para ficar na forma compacta pedida.
Observação: a forma correta obtida tem
no numerador. Se no enunciado apareceu apenas
isso parece ser um erro tipográfico — a derivação mostra que o fator é
.
Passo 7
Ângulo que dá alcance máximo:
- A expressão depende de
apenas por . A função tem máximo igual a . - Assim o máximo de
ocorre quando , isto é quando - Em graus,
.
Expliquei: não foi necessário derivar; basta saber o máximo da função seno.