Considere o fio reto e infinito, uniformemente carregado, de densidade \lambda_{0}. Uma carga q está posicionada próxima ao fio, sendo d a menor distância dela ao fio. Calcule a força de Coulomb exercida pelo fio sobre q.

Passo 1

O enunciado dá um fio reto e infinito, com densidade linear de carga \lambda_{0}, e uma carga pontual q situada a uma distância mínima d do fio. O que é pedido: calcular a força de Coulomb que o fio exerce sobre q.
Informações relevantes fornecidas:
  • Densidade linear de carga do fio: \lambda_{0} (unidade: \mathrm{C/m}).
  • Carga pontual: q (unidade: \mathrm{C}).
  • Distância entre a carga e o fio (menor distância, perpendicular): d (unidade: \mathrm{m}).
  • Fio é reto e infinito (portanto há simetria cilíndrica).

Passo 2

Entendendo a simetria e escolhendo uma superfície de Gauss adequada.
Explicação didática: quando uma distribuição de carga é infinita e reta, o campo elétrico resultante só depende da distância radial r ao fio e aponta radialmente (para fora ou para dentro). Por isso, a superfície de Gauss mais conveniente é um cilindro coaxial com o fio.
Definição da superfície de Gauss que vamos usar:
  • Cilindro de raio r (onde r é genérico; depois colocamos r=d) e comprimento L.
  • Eixo do cilindro coincide com o fio.
  • As tampas do cilindro são planos perpendiculares ao fio; a superfície lateral é o cilindro curvo.

Passo 3

Enunciando e comentando a Lei de Gauss (fórmula e significado).
A Lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividido por \varepsilon_{0}:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico.
  • d\vec{A} é o vetor área (magnitude área, direção normal externa).
  • Q_{\text{int}} é a carga elétrica contida dentro da superfície.
  • \varepsilon_{0} é a constante de permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 4

Calcular a carga encerrada pelo cilindro.
A carga do fio contida no comprimento L do cilindro é
Q_{\text{int}} = \lambda_{0} L.
Aqui \lambda_{0} é carga por unidade de comprimento (C/m), então multiplicando por L obtemos a carga total dentro do cilindro.

Passo 5

Calcular o fluxo do campo elétrico pela superfície de Gauss, usando a simetria.
Pela simetria cilíndrica:
  • \vec{E} tem direção radial e módulo uniforme em todos os pontos da superfície lateral do cilindro (depende só de r).
  • Nas tampas do cilindro, \vec{E} é paralelo às superfícies (pois \vec{E} é radial enquanto as tampas têm normais paralelos ao fio), então a contribuição das tampas para o fluxo é zero.
Portanto, o fluxo total reduz-se ao fluxo pela superfície lateral:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(r)\cdot ( \text{área lateral} ) = E(r)\cdot (2\pi r L).á
Aqui 2\pi r L é a área lateral do cilindro.

Passo 6

Aplicar a Lei de Gauss para achar E(r).
Igualando fluxo a Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}:
E(r)\cdot (2\pi r L) = \frac{\lambda_{0} L}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando L (aparece dos dois lados) e isolando E(r):
E(r) = \frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\, r}.
Comentário didático: esse resultado mostra que o campo de um fio infinito decai como 1/r, diferente do campo de uma carga pontual que decai como 1/r^{2}. A razão é a geometria — a carga se distribui ao longo de uma linha infinita.

Passo 7

Definir a direção do campo e do vetor unitário \hat{r}.
Por convenção, definimos o vetor unitário \hat{r} como o vetor unitário radial que aponta do eixo do fio para o ponto onde está a carga q. Assim:
  • Se \lambda_{0}>0, então \vec{E} aponta no sentido de \hat{r} (para fora do fio).
  • Se \lambda_{0}<0, então \vec{E} aponta no sentido -\hat{r} (para dentro, em direção ao fio).
Em forma vetorial:
\vec{E}(r) = \frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\, r}\,\hat{r}.

Passo 8

Calcular a força de Coulomb sobre a carga q.
A força elétrica sobre uma carga q em um campo \vec{E} é dada por:
\vec{F} = q\,\vec{E}.
Substituindo \vec{E} em r=d (a carga está a distância d do fio):
\vec{F} = q\cdot \frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\, d}\,\hat{r} = \frac{q\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\, d}\,\hat{r}.

Passo 9

Interpretação física e caso de sinais (como responder numa prova).
  • Magnitude da força:
F = \frac{|q|\,|\lambda_{0}|}{2\pi\varepsilon_{0}\, d}.
  • Direção:
    • Se q e \lambda_{0} têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), a força é repulsiva: a carga é empurrada para fora, no sentido de \hat{r} se ambos positivos, ou no sentido oposto se ambos negativos (o sinal do produto q\lambda_{0} determina o sentido no vetor acima).
    • Se q e \lambda_{0} têm sinais opostos, a força é atrativa: a carga é puxada em direção ao fio.
Dica prática para prova: sempre justifique o uso da superfície de Gauss por causa da simetria cilíndrica e explique por que as tampas não contribuem para o fluxo.

Resposta

\displaystyle \vec{F}=\frac{q\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\, d}\,\hat{r}

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