Considere o fio reto e infinito, uniformemente carregado, de densidade
. Uma carga
está posicionada próxima ao fio, sendo
a menor distância dela ao fio. Calcule a força de Coulomb exercida pelo fio sobre
.
Passo 1
O enunciado dá um fio reto e infinito, com densidade linear de carga
, e uma carga pontual
situada a uma distância mínima
do fio. O que é pedido: calcular a força de Coulomb que o fio exerce sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
- Densidade linear de carga do fio:
(unidade: ). - Carga pontual:
(unidade: ). - Distância entre a carga e o fio (menor distância, perpendicular):
(unidade: ). - Fio é reto e infinito (portanto há simetria cilíndrica).
Passo 2
Entendendo a simetria e escolhendo uma superfície de Gauss adequada.
Explicação didática: quando uma distribuição de carga é infinita e reta, o campo elétrico resultante só depende da distância radial
ao fio e aponta radialmente (para fora ou para dentro). Por isso, a superfície de Gauss mais conveniente é um cilindro coaxial com o fio.
Definição da superfície de Gauss que vamos usar:
- Cilindro de raio
(onde é genérico; depois colocamos ) e comprimento . - Eixo do cilindro coincide com o fio.
- As tampas do cilindro são planos perpendiculares ao fio; a superfície lateral é o cilindro curvo.
Passo 3
Enunciando e comentando a Lei de Gauss (fórmula e significado).
A Lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividido por
:
Aqui:
-
é o campo elétrico. -
é o vetor área (magnitude área, direção normal externa). -
é a carga elétrica contida dentro da superfície. -
é a constante de permissividade do vácuo ( ).
Passo 4
Calcular a carga encerrada pelo cilindro.
A carga do fio contida no comprimento
do cilindro é
Aqui
é carga por unidade de comprimento (C/m), então multiplicando por
obtemos a carga total dentro do cilindro.
Passo 5
Calcular o fluxo do campo elétrico pela superfície de Gauss, usando a simetria.
Pela simetria cilíndrica:
-
tem direção radial e módulo uniforme em todos os pontos da superfície lateral do cilindro (depende só de ). - Nas tampas do cilindro,
é paralelo às superfícies (pois é radial enquanto as tampas têm normais paralelos ao fio), então a contribuição das tampas para o fluxo é zero.
Portanto, o fluxo total reduz-se ao fluxo pela superfície lateral:
Aqui
é a área lateral do cilindro.
Passo 6
Aplicar a Lei de Gauss para achar
.
Igualando fluxo a
:
Cancelando
(aparece dos dois lados) e isolando
:
Comentário didático: esse resultado mostra que o campo de um fio infinito decai como
, diferente do campo de uma carga pontual que decai como
. A razão é a geometria — a carga se distribui ao longo de uma linha infinita.
Passo 7
Definir a direção do campo e do vetor unitário
.
Por convenção, definimos o vetor unitário
como o vetor unitário radial que aponta do eixo do fio para o ponto onde está a carga
. Assim:
- Se
, então aponta no sentido de (para fora do fio). - Se
, então aponta no sentido (para dentro, em direção ao fio).
Em forma vetorial:
Passo 8
Calcular a força de Coulomb sobre a carga
.
A força elétrica sobre uma carga
em um campo
é dada por:
Substituindo
em
(a carga está a distância
do fio):
Passo 9
Interpretação física e caso de sinais (como responder numa prova).
- Magnitude da força:
- Direção:
- Se
e têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), a força é repulsiva: a carga é empurrada para fora, no sentido de se ambos positivos, ou no sentido oposto se ambos negativos (o sinal do produto determina o sentido no vetor acima). - Se
e têm sinais opostos, a força é atrativa: a carga é puxada em direção ao fio.
- Se
Dica prática para prova: sempre justifique o uso da superfície de Gauss por causa da simetria cilíndrica e explique por que as tampas não contribuem para o fluxo.