Considere os ângulos de medidas \alpha=13 \pi / 4 r d, \beta=740^{\circ}, \gamma=585^{\circ} e \zeta=3 \pi / 5 r d.
Marque a alternativa FALSA.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. A determinação principal de \beta é maior que a de \zeta.
\bigcirc b. A determinação principal de \zeta em graus é igual a 108 .
\bigcirc c. A determinação principal de \gamma é maior que a de \beta.
\bigcirc d. A medida de \beta em radianos é maior que 2 \pi
\bigcirc e. \alpha e \gamma tem a mesma determinação principal.

Passo 1

O enunciado dá quatro ângulos e pede para marcar a alternativa FALSA. As informações fornecidas são:
\alpha = \dfrac{13\pi}{4} rad, \beta = 740^\circ, \gamma = 585^\circ e \zeta = \dfrac{3\pi}{5} rad.
As alternativas são:
a. A determinação principal de \beta é maior que a de \zeta.
b. A determinação principal de \zeta em graus é igual a 108.
c. A determinação principal de \gamma é maior que a de \beta.
d. A medida de \beta em radianos é maior que 2\pi.
e. \alpha e \gamma têm a mesma determinação principal.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é “determinação principal” (explicação passo a passo): é o ângulo equivalente ao dado, reduzido de modo que fique dentro de um intervalo de um giro completo. Em graus usamos geralmente o intervalo [0^\circ,360^\circ). Em radianos usamos [0,2\pi). Para reduzir um ângulo somamos ou subtraímos múltiplos inteiros de 360^\circ (ou de 2\pi se for em radianos) até cair no intervalo desejado. Exemplo rápido: para um ângulo de 740^\circ subtraímos 2\cdot 360^\circ=720^\circ e obtemos 20^\circ como determinação principal.

Passo 3

Calcular a determinação principal de \alpha:
\alpha = \dfrac{13\pi}{4}.
Subtraímos 2\pi = \dfrac{8\pi}{4} para ficar no intervalo [0,2\pi):
\dfrac{13\pi}{4} - \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}.
Convertendo para graus (se quiser comparar em graus):
\dfrac{5\pi}{4}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 5\cdot 45^\circ = 225^\circ.
Logo a determinação principal de \alpha é \dfrac{5\pi}{4} rad = 225^\circ.

Passo 4

Calcular a determinação principal de \beta:
\beta = 740^\circ.
Subtraímos 2\cdot 360^\circ = 720^\circ:
740^\circ - 720^\circ = 20^\circ.
Portanto a determinação principal de \beta é 20^\circ.
Também convertemos \beta para radianos para verificar a opção (d):
740^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{740}{180}\pi = \dfrac{37}{9}\pi.
Comparando com 2\pi: \dfrac{37}{9}\pi > 2\pi pois \dfrac{37}{9}>2. Logo \beta em radianos é maior que 2\pi.

Passo 5

Calcular a determinação principal de \gamma:
\gamma = 585^\circ.
Subtraímos 360^\circ:
585^\circ - 360^\circ = 225^\circ.
Portanto a determinação principal de \gamma é 225^\circ.

Passo 6

Calcular a determinação principal de \zeta:
\zeta = \dfrac{3\pi}{5}\\ \text{rad}.
Observamos que 0 < \dfrac{3\pi}{5} < 2\pi, então já está na faixa [0,2\pi) — portanto sua determinação principal em radianos é \dfrac{3\pi}{5}.
Convertendo para graus:
\dfrac{3\pi}{5}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 3\cdot 36^\circ = 108^\circ.
Logo a determinação principal de \zeta é \dfrac{3\pi}{5} rad = 108^\circ.

Passo 7

Agora avaliamos cada alternativa usando os valores encontrados:
  • Determinações principais em graus: \alpha=225^\circ, \beta=20^\circ, \gamma=225^\circ, \zeta=108^\circ.
    a. Diz que a determinação principal de \beta é maior que a de \zeta. Aqui 20^\circ>108^\circ é falso. Logo (a) é falsa.
    b. Diz que a determinação principal de \zeta em graus é 108^\circ. Verdadeiro (já calculei).
    c. Diz que a determinação principal de \gamma é maior que a de \beta. 225^\circ>20^\circ é verdadeiro.
    d. Diz que \beta em radianos é maior que 2\pi. Vimos que \beta=\dfrac{37}{9}\pi>2\pi, então é verdadeiro.
    e. Diz que \alpha e \gamma têm a mesma determinação principal. Ambos são 225^\circ, portanto verdadeiro.

Passo 8

Conclusão: a única alternativa FALSA é a alternativa (a). Força aí — você já entendeu como reduzir ângulos e converter entre graus e radianos!

Resposta

a

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