Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a região de integração descrita pela integral
e (2) mudar a ordem de integração (isto é, escrever a mesma integral com a integração em
primeiro e em
depois).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar: (limite externo) e, para cada
fixo nessa faixa,
(limite interno).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
Passo 2
Vamos entender as curvas/retas que definem a região. Do intervalo de integração extraímos explicitamente as fronteiras:
(limite inferior em
),
(limite superior em
),
e
.
Encontre os pontos de interseção dessas retas para achar os vértices da região:
Encontre os pontos de interseção dessas retas para achar os vértices da região:
- Intersecção de
com dá o ponto . - Intersecção de
com dá o ponto . - Intersecção de
com dá o ponto . - Intersecção de
com dá o ponto .
Portanto os vértices são, , e .
Passo 3
Como esboçar (procedimento passo a passo que você pode fazer na prova): desenhe os eixos
e
; trace a reta
(diagonal) e as retas verticais
e
e a reta horizontal
. A região é o trapézio limitado por essas curvas, com os vértices listados no passo anterior. Sombrar essa região entre
e
para
.
Passo 4
Agora vamos trocar a ordem de integração. A ideia geométrica: para trocar a ordem integramos primeiro em
mantendo
fixo — então, para cada
fixo, precisamos encontrar os valores de
que pertencem à região. Primeiro determine o intervalo total de
na região: o menor
é
(em
) e o maior é
(na reta
), logo
.
Passo 5
Para um determinado valor de
temos duas situações (por isso precisamos partir o intervalo de
):
- Se
: a reta está acima de e valendo . Nessa faixa de os pontos da região têm indo de até . Logo, para temos . - Se
: a reta já está à esquerda da linha (pois ), então para esses a região contém todos os entre e . Logo, para temos .
Passo 6
Com esses limites em
para cada faixa de
podemos escrever a integral trocando a ordem. Precisamos somar as duas parcelas (uma para
e outra para
):
Essa é a expressão com a ordem de integração trocada; ela corresponde exatamente à mesma região descrita originalmente.
Resposta
Esboço: região é o trapézio com vértices
,
,
e
.
Ordem trocada:
Ordem trocada: