Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{0}^{2} \int_{x}^{4} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a região de integração descrita pela integral \int_{0}^{2}\int_{x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx e (2) mudar a ordem de integração (isto é, escrever a mesma integral com a integração em x primeiro e em y depois).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar: \;0\le x\le 2 (limite externo) e, para cada x fixo nessa faixa, \;x\le y\le 4 (limite interno).

Passo 2

Vamos entender as curvas/retas que definem a região. Do intervalo de integração extraímos explicitamente as fronteiras:
\;y=x (limite inferior em y), \;y=4 (limite superior em y), \;x=0 e \;x=2.
Encontre os pontos de interseção dessas retas para achar os vértices da região:
  • Intersecção de \;y=x com \;x=0 dá o ponto (0,0).
  • Intersecção de \;y=x com \;x=2 dá o ponto (2,2).
  • Intersecção de \;y=4 com \;x=2 dá o ponto (2,4).
  • Intersecção de \;y=4 com \;x=0 dá o ponto (0,4).
    Portanto os vértices são (0,0), (2,2), (2,4) e (0,4).

Passo 3

Como esboçar (procedimento passo a passo que você pode fazer na prova): desenhe os eixos x e y; trace a reta \;y=x (diagonal) e as retas verticais \;x=0 e \;x=2 e a reta horizontal \;y=4. A região é o trapézio limitado por essas curvas, com os vértices listados no passo anterior. Sombrar essa região entre \;y=x e \;y=4 para 0\le x\le 2.

Passo 4

Agora vamos trocar a ordem de integração. A ideia geométrica: para trocar a ordem integramos primeiro em x mantendo y fixo — então, para cada y fixo, precisamos encontrar os valores de x que pertencem à região. Primeiro determine o intervalo total de y na região: o menor y é \;0 (em (0,0)) e o maior é \;4 (na reta \;y=4), logo \;0\le y\le 4.

Passo 5

Para um determinado valor de y temos duas situações (por isso precisamos partir o intervalo de y):
  • Se \;0\le y\le 2: a reta \;y=x está acima de x=0 e valendo \;x=y\le 2. Nessa faixa de y os pontos da região têm x indo de \;x=0 até \;x=y. Logo, para \;0\le y\le 2 temos \;0\le x\le y.
  • Se \;2\le y\le 4: a reta \;y=x já está à esquerda da linha \;x=2 (pois \;x=y\ge 2), então para esses y a região contém todos os x entre \;x=0 e \;x=2. Logo, para \;2\le y\le 4 temos \;0\le x\le 2.

Passo 6

Com esses limites em x para cada faixa de y podemos escrever a integral trocando a ordem. Precisamos somar as duas parcelas (uma para \;0\le y\le 2 e outra para \;2\le y\le 4):
\int_{0}^{2}\int_{x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{2}^{4}\int_{0}^{2} f(x,y)\,dx\,dy.
Essa é a expressão com a ordem de integração trocada; ela corresponde exatamente à mesma região descrita originalmente.

Resposta

Esboço: região é o trapézio com vértices (0,0), (2,2), (2,4) e (0,4).
Ordem trocada:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{2}^{4}\int_{0}^{2} f(x,y)\,dx\,dy

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