Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{8} \int_{-5}^{2} e^{y^{4}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla trocando a ordem de integração:
\int_{0}^{8}\int_{-5}^{2} e^{y^{4}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,e^{y^{4}}\,.
  • Os limites são x de -5 a 2 e y de 0 a 8.
  • A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid -5\le x\le 2,\;0\le y\le 8\}.
    A tarefa explícita é trocar a ordem de integração e calcular a integral resultante.

Passo 2

Entendendo a troca de ordem: como a região é um retângulo com limites independentes (os limites de x não dependem de y e vice-versa), podemos trocar a ordem diretamente trocando os inteiros:
\int_{0}^{8}\int_{-5}^{2} e^{y^{4}}\,dx\,dy = \int_{-5}^{2}\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy\,dx.
Isto é uma propriedade direta de integrais sobre retângulos (uma aplicação do teorema de Fubini/Tonelli quando a função é adequada).

Passo 3

Observação muito útil antes de integrar: a função \,e^{y^{4}}\, não depende de x. Isso significa que, ao integrar em relação a x, podemos tratá-la como constante. Vou mostrar as duas formas equivalentes (integrando em x primeiro — que é simples — e a integral trocada explicitamente).

Passo 4

Integral original integrando primeiro em x (passo que usa a ideia de trocar a ordem em prática):
Calcule \displaystyle\int_{-5}^{2} e^{y^{4}}\,dx.
Como y é tratado como constante ao integrar em x,
\int_{-5}^{2} e^{y^{4}}\,dx = e^{y^{4}}\cdot\bigl[x\bigr]_{-5}^{2} = e^{y^{4}}\cdot(2-(-5)) = 7\,e^{y^{4}}.
Portanto a dupla reduz a uma integral simples em y:
\int_{0}^{8}\int_{-5}^{2} e^{y^{4}}\,dx\,dy = \int_{0}^{8} 7\,e^{y^{4}}\,dy = 7\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy.

Passo 5

Confirmando pela integral com ordem trocada: escrevemos
\int_{-5}^{2}\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy\,dx.
Aqui a integral interna \int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy independe de x, então a integral externa apenas multiplica por \;x\big|_{-5}^{2}=7\;, dando novamente
7\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy.

Passo 6

Sobre calcular explicitamente \int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy: não existe primitiva elementar conhecida para e^{y^{4}}. Podemos fazer a substituição t=y^{4} para reescrever a integral em termos de uma integral envolvendo t^{-3/4}e^{t}, mas isto não produz uma função elementar simples — exige funções especiais ou cálculo numérico. Portanto a forma fechada mais simples e exata que podemos dar é
7\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy.
Se estiveres vendo a prova e o professor queria só a troca de ordem e simplificação, esse é o resultado final correto; se quiseres um valor numérico, é preciso usar cálculo numérico (por exemplo, métodos de quadratura).

Resposta

7\int_{0}^{8} e^{y^{4}}\,dy

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