Considere a aplicação T: M2(R) R dada por T([llA11 & a12 a21 & a22])=a11+a22.
(a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
e pede para mostrar que é linear. Para isso, vamos usar a definição de aplicação linear: para todas as matrizes e todo escalar , deve ocorrer
  1. (aditividade)
  2. (homogeneidade)

Passo 2

Sejam
em . Então

Passo 3

Aplicando T à soma, temos
T(A+B) =(a11+b11)+(a22+b22) =a11+a22+b11+b22
Por sua vez,
T(A)=a11+a22, T(B)=b11+b22,
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T(A+B)=T(A)+T(B)

Passo 4

Agora, para um escalar lambdainR, a matriz lambda A é
lambda A =lambda a11&lambda a12lambda a21&lambda a22,
e
T(lambda A) =(lambda a11)+(lambda a22) =lambda,(a11+a22) =lambda,T(A)

Resposta

Como as duas condições de linearidade (aditividade e homogeneidade) estão satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

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