Seja T: U V uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais. Mostre que
(a) Se T é transformação linear, então T(0U)=0V.(Transformação linear leva vetor nulo em vetor nulo).

Passo 1

O enunciado considera uma aplicação linear
Tcolon U to V
entre espaços vetoriais reais e pede para mostrar que
T(0U) = 0V
Para isso vamos usar a propriedade fundamental de linearidade relativa à multiplicação por escalar.

Passo 2

Como T é linear, vale
T(alpha,u) ;=;alpha,T(u)
para todo uin U e todo escalar alphainR. Escolhendo alpha=0 e um vetor qualquer uin U, obtemos
T(0cdot u) ;=;0cdot T(u)
Mas 0cdot u=0U e 0cdot T(u)=0V. Logo
T(0U) = 0V

Resposta

T(0U) = 0V

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