Se a matriz de uma transformação linear, T: R^2 R^3, é [T]C^B=[cc3 & 1 2 & 5 1 & -1], onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são as bases de R^2 e R^3 respectivamente.
(c) Se T(v)=(2,4,-2), encontre, se possível, o vetor v.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T relativa à base do domínio B=(-1,1),(1,0) e à base do contradomínio C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0):
[T]C^B = 3 & 12 & 51 & -1
Queremos achar vinR^2 tal que T(v)=(2,4,-2) em coordenadas padrão.
Para isso:
  1. Expressamos (2,4,-2) em coordenadas na base C, isto é, achamos [,(2,4,-2),]C.
  2. Resolvemos
[T]C^B;[v]B ;=;[,(2,4,-2),]C
para obter [v]B.
3. Se houver solução, reconvertemos [v]B em v nas coordenadas padrão.

Passo 2

Escrevendo
obtemos o sistema
Da terceira equação vem e . Logo

Passo 3

Agora impomos
ou seja o sistema
Das equações primeira e última vem
que, porém, não satisfazem a segunda (ela daria ).

Passo 4

O sistema é inconsistente, o que significa que não existe [v]B tal que [T]C^B,[v]B=[,(2,4,-2),]C.

Resposta

Não existe vetor vinR^2 com T(v)=(2,4,-2).

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