Sejam S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(y, x) e T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x, y). Geometricamente, S e T produzem reflexões em relação às retas y=x e x=0 respectivamente. Determine:
(a) S^-1(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Scolon R^2 to R^2, S(x,y) = (y,x),
que geometrically é a reflexão em relação à reta y=x. Preciso encontrar a função inversa S^-1, ou seja, aquela que, aplicada a S(x,y), retorna o par original (x,y).

Passo 2

Para achar S^-1, suponha que
(u,v) = S(x,y) = (y,x)
Isso dá o sistema
u = y, v = x
Daí vemos que
x = v e y = u

Passo 3

Logo, a inversa S^-1 recebe (u,v) e devolve (v,u). Renomeando (u,v) para (x,y), obtemos
S^-1(x,y) = (y,x)

Resposta

S^-1(x,y) = (y,x).

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