Considere a aplicação g definida pelas equações
x=u+v e y=v-u^2
a) Utilizando g, calcule D, onde x y é a imagem no plano Q da região u v no plano u=0, v=0 e limitada pelas retas u+v=2 D.
b) Descreva e esboce a região .

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular integral duplaD(x - y + tfrac14)^-1/2,dx,dy, onde D=g(Q) e g(u,v)=(x,y) é dada por x=u+v e y=v-u^2. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos achar o jacobiano de g, reescrever o integrando em (u,v) e depois integrar sobre a região Q (um triângulo em u,v).

Passo 2

Calculemos o jacobiano J=detpartial(x,y)partial(u,v). Temos
xu=1, xv=1, yu=-2u, yv=1,
logo
J=1&1-2u&1=1cdot1 - 1cdot(-2u)=1+2u,

Passo 3

Reescrevemos o integrando em (u,v):
x - y + tfrac14=(u+v)-(v-u^2)+tfrac14=u+u^2+tfrac14=(u+tfrac12)^2,
portanto
(x - y + tfrac14)^-1/2=1|u+1/2|=1u+1/2(u>=0)

Passo 4

Na integral transformada aparece o fator |J|=2u+1, então o integrando fcirc gcdot|J| fica
2u+1u+1/2=2,

Passo 5

Assim
integral duplaD (x - y + tfrac14)^-1/2,dx,dy=integral duplaQ 2,du,dv=2cdotárea(Q)á

Passo 6

Como Q=u>=0,v>=0,u+v<=2 é um triângulo de base e altura iguais a 2, tem área 2. Logo a integral vale
2times2=4

Passo 7

Para descrever D=g(Q):
  • Quando u=0: x=v, y=v dá a reta y=x de (0,0) a (2,2).
  • Quando v=0: x=u, y=-u^2 dá o arco da parábola y=-x^2 de (0,0) a (2,-4).
  • Quando u+v=2: x=2, y=2-u-u^2 é a reta vertical x=2 de (2,2) até (2,-4).
    Portanto
D=(x,y)mid 0<= x<=2, -x^2<= y<= x,que é a região no plano xy limitada pela parábola y=-x^2, pela reta y=x e pela reta vertical x=2.

Resposta

a) 4 b) A região D é dada por D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, –x^2 ≤ y ≤ x }.

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