a) Utilizando , calcule , onde é a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas .
b) Descreva e esboce a região .
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular , onde e é dada por e . O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos achar o jacobiano de , reescrever o integrando em e depois integrar sobre a região (um triângulo em ).
Passo 2
Calculemos o jacobiano . Temos
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Passo 3
Reescrevemos o integrando em (u,v):
x - y + tfrac14=(u+v)-(v-u^2)+tfrac14=u+u^2+tfrac14=(u+tfrac12)^2,
portanto (x - y + tfrac14)^-1/2=1|u+1/2|=1u+1/2(u>=0)
Passo 4
Na integral transformada aparece o fator |J|=2u+1, então o integrando fcirc gcdot|J| fica
2u+1u+1/2=2,
Passo 5
Assim
integral duplaD (x - y + tfrac14)^-1/2,dx,dy=integral duplaQ 2,du,dv=2cdotárea(Q)á
Passo 6
Como Q=u>=0,v>=0,u+v<=2 é um triângulo de base e altura iguais a 2, tem área 2. Logo a integral vale
2times2=4
Passo 7
Para descrever D=g(Q):
Quando u=0: x=v, y=v dá a reta y=x de (0,0) a (2,2).
Quando v=0: x=u, y=-u^2 dá o arco da parábola y=-x^2 de (0,0) a (2,-4).
Quando u+v=2: x=2, y=2-u-u^2 é a reta vertical x=2 de (2,2) até (2,-4).
Portanto
D=(x,y)mid 0<= x<=2, -x^2<= y<= x,que é a região no plano xy limitada pela parábola y=-x^2, pela reta y=x e pela reta vertical x=2.
Resposta
a) 4 b) A região D é dada por D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, –x^2 ≤ y ≤ x }.