Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
Determine f(1) e todos os limites de f no ponto 1 .

Passo 1

A gente tem uma função definida por partes: para x < –2 vale x+5, para –2 ≤ x < 1 vale –x²–2x+3, para x ≥ 1 (e x≠3) vale –x+2, e em x=3 vale 2. O que precisamos é o valor de f(1) e os limites quando x se aproxima de 1 pelas duas laterais.

Passo 2

Para achar f(1) a gente vê em qual trecho 1 se encaixa. Como 1 ≥ 1 e 1≠3, usamos o trecho f(x)=–x+2. Logo, substituindo x=1:
f(1)= -1 + 2 = 1

Passo 3

Agora o limite pela esquerda, $x\to1^{-}$. Para x<1 (mas perto de 1) usamos f(x)=–x²–2x+3. Basta substituir x→1:
xto1^-

Passo 4

Para o limite pela direita, $x\to1^{+}$, usamos f(x)=–x+2 (o mesmo trecho de f(1)). Substituindo x→1:
xto1^+

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (0 ≠ 1), o limite $\lim_{x\to1}f(x)$ não existe.

Resposta

f(1)=1; $\lim_{x\to1^{-}}f(x)=0$; $\lim_{x\to1^{+}}f(x)=1$; $\lim_{x\to1}f(x)$ não existe.

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