(a) Determine \operatorname{dim}(\operatorname{Im} L) e uma base para \operatorname{Im} L.
(b) Determine \operatorname{dim}(\operatorname{ker} L) e uma base para \operatorname{ker} L.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica é
Determinar \dim(\operatorname{Im} L) e uma base para \operatorname{Im} L.
Determinar \dim(\ker L) e uma base para \ker L.
Passo 2
O que significa cada pedido (rapidinho, para a gente não se perder):
\operatorname{Im}L
é o espaço gerado pelas colunas de A (o conjunto de todos os vetores da forma A x com x\in\mathbb{R}^3). Uma maneira prática de achar \dim(\operatorname{Im}L) é calcular o posto da matriz A (o número de colunas linearmente independentes). Se soubermos quais colunas são independentes, podemos escolher essas colunas como uma base da imagem.
\ker L
são os vetores x\in\mathbb{R}^3 que satisfazem A x = 0. Para encontrar uma base do núcleo, resolvemos o sistema homogêneo A x = 0 e expressamos as soluções livres em termos de parâmetros.
Também é útil lembrar o teorema do posto-nulidade (rank-nullity):
\dim(\operatorname{Im}L)+\dim(\ker L)=3,
pois o domínio tem dimensão 3. Vou calcular explicitamente o posto pela eliminação e resolver A x=0.
Passo 3
Fazendo eliminação por linhas em A para obter forma escalonada (vou mostrar cada operação para você poder reproduzir na prova):
A partir da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (os elementos de pivô são 1 em (1,1), 1 em (2,2) e -2 em (3,3)). Isso significa que todas as três colunas de A são linearmente independentes. Logo o posto de A é 3.
Portanto,
\dim(\operatorname{Im}L)=3.
Uma base natural para \operatorname{Im}L são as colunas de A (já que são independentes). Escrevendo-as:
Agora vamos ao núcleo: resolvemos A x=0. Usei a forma escalonada do Passo 3; ela representa o mesmo sistema linear. Escrevendo as equações correspondentes (chamando x=(x_1,x_2,x_3)^\top):
Portanto a única solução é x=(0,0,0). Ou seja, \ker L=\{0\}.
Passo 6
Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é zero e não existe um conjunto não-vazio de vetores que seja base do núcleo — a base padrão do espaço trivial é o conjunto vazio (ou dizer que não há vetores independentes não-nulos). Para conferir, aplicamos o teorema do posto-nulidade: