Seja
a transformação linear definida por Boa Prova!
Encontre a matriz de
na base canônica.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que é pedido: encontrar a matriz de
na base canônica de
. Informações relevantes: a base canônica é formada pelos vetores
e
; a matriz pedida será
cujas colunas correspondem às imagens desses vetores pela transformação
.
Passo 2
Explicação didática do método (sem mistério): para achar a matriz de uma transformação linear na base canônica, calculamos
aplicado aos vetores da base canônica
e
. Cada coluna da matriz será as coordenadas do vetor imagem correspondente perante a mesma base canônica. Ou seja, se
e
, então a matriz
de
na base canônica é
onde colocamos
como primeira coluna e
como segunda coluna. Isso funciona porque multiplicar
pelo vetor coluna
dá exatamente
.
Passo 3
Calcule
do primeiro vetor da base canônica
. Usando a definição:
Passo 4
Calcule
do segundo vetor da base canônica
. Usando a definição:
Passo 5
Forme a matriz colocando
como primeira coluna e
como segunda coluna. Assim a matriz de
na base canônica é
Passo 6
Verificação rápida (para ficar tranquilo): multiplicando essa matriz pelo vetor coluna
obtemos
que coincide com
. Pronto — bate certinho!]