Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por Boa Prova!
T(x, y)=(2 x-y, 3 x+y) .
Encontre a matriz de T na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(2x-y,\;3x+y).
O que é pedido: encontrar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2. Informações relevantes: a base canônica é formada pelos vetores (1,0) e (0,1); a matriz pedida será 2\times2 cujas colunas correspondem às imagens desses vetores pela transformação T.

Passo 2

Explicação didática do método (sem mistério): para achar a matriz de uma transformação linear na base canônica, calculamos T aplicado aos vetores da base canônica (1,0) e (0,1). Cada coluna da matriz será as coordenadas do vetor imagem correspondente perante a mesma base canônica. Ou seja, se \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1), então a matriz A de T na base canônica é
A=\big[\,T(\mathbf{e}_1)\;\;T(\mathbf{e}_2)\,\big],
onde colocamos T(\mathbf{e}_1) como primeira coluna e T(\mathbf{e}_2) como segunda coluna. Isso funciona porque multiplicar A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} dá exatamente T(x,y).

Passo 3

Calcule T do primeiro vetor da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0). Usando a definição:
T(1,0)=(2\cdot 1-0,\;3\cdot 1+0)=(2,\;3).

Passo 4

Calcule T do segundo vetor da base canônica \mathbf{e}_2=(0,1). Usando a definição:
T(0,1)=(2\cdot 0-1,\;3\cdot 0+1)=(-1,\;1).

Passo 5

Forme a matriz colocando T(1,0) como primeira coluna e T(0,1) como segunda coluna. Assim a matriz de T na base canônica é
\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): multiplicando essa matriz pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y\\[4pt]3x+y\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y). Pronto — bate certinho!]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 3 & 1 \end{pmatrix}]

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