(c) Decidir se T (ou seja, A) é diagonalizável, com justificativa.
As informações relevantes que temos são a própria matriz A acima e que estamos em \mathbb{R}^3. Não há outra figura ou tabela.]
Passo 2
O que é o polinômio característico e como vamos calculá‑lo: o polinômio característico de uma matriz A é geralmente definido por
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade. Esse polinômio tem grau n para uma matriz n\times n e suas raízes são os autovalores (valores próprios) de A. Como A é uma matriz triangular superior (os elementos abaixo da diagonal são todos zero exceto um elemento na posição (2,1) — ainda assim a estrutura triangular na diagonal principal é preservada no cálculo do determinante de \lambda I-A), o determinante de \lambda I-A é o produto das entradas diagonais de \lambda I-A. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Calculemos \lambda I - A. A matriz identidade I em 3\times3 é \begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}, então
Como essa matriz é triangular (os únicos elementos fora da diagonal não afetam o produto das diagonais para o determinante), o determinante é o produto das entradas diagonais. Portanto
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-3)=(\lambda-2)(\lambda-3)^2.]
Passo 4
Interpretação do polinômio característico: as raízes de p_A(\lambda) são os autovalores de A. Do resultado do passo anterior vemos que os autovalores são \lambda=2 e \lambda=3. A multiplicidade algébrica (multiplicidade como raiz do polinômio característico) é:
para \lambda=2: multiplicidade algébrica 1,
para \lambda=3: multiplicidade algébrica 2.
Para decidir diagonalização precisamos também das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios), então vamos calcular os espaços próprios.
Passo 5
Cálculo do espaço próprio correspondente a [\lambda=2): resolvemos (A-2I)x=0.
Da primeira (ou segunda) equação vem x_1=0\]; \(x_2 e x_3 ficam livres. Assim os vetores próprios têm a forma (0,\,s,\,t)^T = s(0,1,0)^T + t(0,0,1)^T. Uma base do espaço próprio é
v^{(3)}_1=(0,1,0)^T,\qquad v^{(3)}_2=(0,0,1)^T.
A dimensão do espaço próprio para \lambda=3 é 2 (multiplicidade geométrica 2), que coincide com a multiplicidade algébrica 2.]
Passo 7
Conclusão sobre diagonalização e cálculo do polinômio minimal:
Critério útil: uma matriz A é diagonalizável sobre \mathbb{R} se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é igual à multiplicidade algébrica, e somando essas dimensões obtemos n vetores próprios linearmente independentes formando uma base. Aqui temos multiplicidade geométrica 1 para \lambda=2 e 2 para \lambda=3; somando dá 1+2=3, ou seja, existem 3 autovetores linearmente independentes que formam uma base de \mathbb{R}^3. Portanto A é diagonalizável.
Polinômio minimal: o polinômio minimal m_A(\lambda) é o polinômio monico de menor grau tal que m_A(A)=0. Ele deve ter como fatores lineares apenas (\lambda-2) e (\lambda-3) (porque são os autovalores) e os expoentes não podem exceder as multiplicidades algébricas. Como A é diagonalizável, o polinômio minimal tem todas as raízes simples (expoentes 1), isto é
m_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-3).
Podemos também verificar diretamente que (A-2I)(A-3I)=0: calculando as multiplicações de matrizes (operação mostrada abaixo) obtém‑se a matriz nula, e nem (A-2I) nem (A-3I) são a matriz nula isoladamente, então o polinômio minimal é exatamente (\lambda-2)(\lambda-3).
Passo 8
Resumo final (respostas objetivas que você pode conferir rápido):