Determinar os valores máximo e minimo da funçāo f(x)=2 \operatorname{sen}^{2} x+4 \cos ^{2} x+6 \operatorname{sen} x \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2\operatorname{sen}^{2}x+4\cos^{2}x+6\operatorname{sen}x\cos x
e pede para determinar os valores máximo e mínimo que f assume (considerando x\in\mathbb{R}). Informações relevantes fornecidas: a expressão trigonométrica acima; o domínio natural é todo \mathbb{R}. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica básica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Substituindo \sin^{2}x=1-\cos^{2}x em f(x) temos:
\begin{aligned} f(x)&=2\sin^{2}x+4\cos^{2}x+6\sin x\cos x\\[4pt] &=2(1-\cos^{2}x)+4\cos^{2}x+6\sin x\cos x\\[4pt] &=2-2\cos^{2}x+4\cos^{2}x+6\sin x\cos x\\[4pt] &=2+2\cos^{2}x+6\sin x\cos x. \end{aligned}
Expliquei cada passo: substituí \sin^{2}x por 1-\cos^{2}x, distribuí os fatores e somei termos semelhantes.]

Passo 3

Agora use identidades de ângulo duplo para escrever tudo em função de 2x. As identidades úteis são
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\qquad\text{e}\qquad \sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},
onde a primeira vem de \cos 2x=2\cos^{2}x-1 e a segunda de \sin 2x=2\sin x\cos x. Substituindo na expressão obtida:
\begin{aligned} f(x)&=2+\;2\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)+6\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)\\[4pt] &=2+(1+\cos 2x)+3\sin 2x\\[4pt] &=3+\cos 2x+3\sin 2x. \end{aligned}]

Passo 4

Agora vamos juntar os termos \cos 2x e 3\sin 2x numa só função sinusoidal. Em geral, para todo t,
a\sin t + b\cos t = R\sin(t+\varphi),
onde R=\sqrt{a^{2}+b^{2}} e os números R\cos\varphi e R\sin\varphi são, respectivamente, a e b. A justificativa rápida: R\sin(t+\varphi)=R(\sin t\cos\varphi+\cos t\sin\varphi)=(R\cos\varphi)\sin t+(R\sin\varphi)\cos t.
No nosso caso t=2x, a=3 (coeficiente de \sin 2x) e b=1 (coeficiente de \cos 2x). Logo
R=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},
e escolhemos \varphi tal que
R\cos\varphi=3,\qquad R\sin\varphi=1,
ou seja
\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{10}},\qquad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Portanto
\cos 2x+3\sin 2x=\sqrt{10}\,\sin(2x+\varphi),
com \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{1}{3}\right) (observe que aqui 3>0 e 1>0, então \varphi está no primeiro quadrante).

Passo 5

Substituindo isso em f(x) obtemos a forma final
f(x)=3+\sqrt{10}\,\sin(2x+\varphi).
Como a função \sin varia entre -1 e 1, segue imediatamente que
\min \sin(2x+\varphi)=-1\quad\text{e}\quad \max \sin(2x+\varphi)=1.
Portanto os extremos de f são
\max f(x)=3+\sqrt{10}\quad\text{quando}\quad \sin(2x+\varphi)=1,
\min f(x)=3-\sqrt{10}\quad\text{quando}\quad \sin(2x+\varphi)=-1.
(Se precisar do ponto x onde ocorrem, por exemplo um x de máximo satisfaz 2x+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi/2-\varphi}{2}+k\pi.)

Resposta

3+\sqrt{10}
3-\sqrt{10}

Exercícios relacionados