Determinar os valores máximo e minimo da funçāo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os valores máximo e mínimo que
assume (considerando
). Informações relevantes fornecidas: a expressão trigonométrica acima; o domínio natural é todo
. A resolução começará a seguir.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica básica
. Substituindo
em
temos:
Expliquei cada passo: substituí
por
, distribuí os fatores e somei termos semelhantes.]
Passo 3
Agora use identidades de ângulo duplo para escrever tudo em função de
. As identidades úteis são
onde a primeira vem de
e a segunda de
. Substituindo na expressão obtida:
Passo 4
Agora vamos juntar os termos
e
numa só função sinusoidal. Em geral, para todo
,
onde
e os números
e
são, respectivamente,
e
. A justificativa rápida:
.
No nosso caso ,
(coeficiente de
) e
(coeficiente de
). Logo
No nosso caso
e escolhemos
tal que
ou seja
Portanto
com
(observe que aqui
e
, então
está no primeiro quadrante).
Passo 5
Substituindo isso em
obtemos a forma final
Como a função
varia entre
e
, segue imediatamente que
Portanto os extremos de
são
(Se precisar do ponto
onde ocorrem, por exemplo um
de máximo satisfaz
.)