Considere a aplicação
dada por
. Verifique se
é linear nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
e pede para verificar se
é linear quando
. O conteúdo envolvido é definição de transformação linear: precisamos checar aditividade e homogeneidade ou, equivalentemente, que não haja termo constante.
Passo 2
Substituindo
na definição, obtemos
Note que não surge nenhum termo independente de
:
toma a forma de uma aplicação puramente matricial.
Passo 3
Vamos checar aditividade. Tomando
e
em
,
Por outro lado,
Logo
.
Passo 4
Agora checamos homogeneidade. Para escalar
e vetor
,
Portanto
.
Resposta
Para
,
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.