Considere a aplicação T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+k y, x+k, y). Verifique se T é linear nos seguintes casos:
k=0

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação Tcolon R^2toR^3 definida por
T(x,y) = (,x + k,y,;x + k,;y,)
e pede para verificar se T é linear quando k=0. O conteúdo envolvido é definição de transformação linear: precisamos checar aditividade e homogeneidade ou, equivalentemente, que não haja termo constante.

Passo 2

Substituindo k=0 na definição, obtemos
T(x,y) = (,x + 0cdot y,;x + 0,;y,) = (,x,;x,;y,)
Note que não surge nenhum termo independente de (x,y): T toma a forma de uma aplicação puramente matricial.

Passo 3

Vamos checar aditividade. Tomando (x1,y1) e (x2,y2) em R^2,
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(x1+x2,;x1+x2,;y1+y2r)
Por outro lado,
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (,x1,x1,y1,) + (,x2,x2,y2,) = l(x1+x2,;x1+x2,;y1+y2r)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Agora checamos homogeneidade. Para escalar cinR e vetor (x,y),
Tl(c,(x,y)r) = T(cx,;cy) = (,cx,;cx,;cy,) = c,(x,x,y) = c,T(x,y)
Portanto T(c,v)=c,T(v).

Resposta

Para k=0, T(x,y)=(x,x,y) satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

Exercícios relacionados