Considere
, a área da região limitada pelas curvas
e
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Utilize o Teorema de Pappus, para encontrar o volume do sólido resultante, quando essa região gira em torno da reta
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Utilize o Teorema de Pappus, para encontrar o volume do sólido resultante, quando essa região gira em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região limitada pelas curvas $ y = x^{2} - c^{2} $ e $ y = c^{2} - x^{2} $ em torno da reta $ x = 10 $. Para isso, vamos usar o Teorema de Pappus. Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam a região e identificar os limites de integração. Vamos precisar calcular a área da região e encontrar o centróide dessa área para aplicar o teorema.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas para saber entre quais valores de $ x $ vamos trabalhar. Igualando $ y = x^{2} - c^{2} $ a $ y = c^{2} - x^{2} $:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam em $ x = -c $ e $ x = c $. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área $ A $ da região entre as curvas. A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, entre os limites encontrados:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral para encontrar a área:
Calculando cada parte:
- $ \int_{-c}^{c} c^{2} dx = c^{2} \cdot (c - (-c)) = 2c^{3} $
- $ \int_{-c}^{c} x^{2} dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-c}^{c} = \frac{c^{3}}{3} - \left( -\frac{c^{3}}{3} \right) = \frac{2c^{3}}{3} $
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do centróide $ (\bar{x}, \bar{y}) $ da área. Como a região é simétrica em relação ao eixo $ y $, sabemos que $ \bar{x} = 0 $. Vamos encontrar $ \bar{y} $ usando a fórmula:
Mas, nesse caso, para simplificar, podemos usar a média das funções para encontrar $ \bar{y} $:
Calculando $ y_{superior} = c^{2} - x^{2} $ e $ y_{inferior} = x^{2} - c^{2} $:
Na verdade, devido à simetria, o centróide está localizado no eixo $ y $ na posição $ \bar{y} = 0 $.
Passo 6
Agora que temos a área $ A = \frac{8c^{3}}{3} $ e o centróide localizado em $ (\bar{x}, \bar{y}) = (0, 0) $, vamos aplicar o Teorema de Pappus. Esse teorema nos diz que o volume do sólido de rotação é igual ao produto da área $ A $ pela distância percorrida pelo centróide durante a rotação.
A rotação é em torno da reta $ x = 10 $. A distância percorrida pelo centróide, que está em $ x = 0 $, até a reta de rotação é:
Resposta
Aplicando o Teorema de Pappus:
Portanto, o volume do sólido resultante é $ \frac{80c^{3}}{3} $.