Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em cinco dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala que uma substância cresce numa taxa proporcional ao seu volume inicial. Isso significa que a forma como ela cresce está ligada diretamente ao quanto ela já tem no começo. A gente sabe também que a quantidade original dobra em um dia. Nosso objetivo é descobrir quanto vamos ter dessa substância depois de cinco dias. Para resolver, vamos precisar usar um pouquinho de matemática envolvendo taxas de variação e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que significa que a taxa de crescimento é proporcional ao volume inicial. Em termos matemáticos, isso fica assim:
dVdt = k V0
Aqui, representa a taxa de variação do volume em relação ao tempo, é uma constante de proporcionalidade e é o volume inicial da substância.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar integral dVdt , dt = integral k V0 , dt , que é o volume da substância em qualquer tempo V(t) = k V0 t + C . Para isso, integramos ambos os lados da equação:
V(0) = k V0 cdot 0 + C = V0 Rightarrow C = V0
Isso simplifica para:
V(t) = V0 + k V0 t
Onde é a constante de integração. Sabemos que no tempo , o volume é , então:
Portanto, a equação fica:

Passo 4

Sabemos também que em um dia ( 2 V0 = V0 + k V0 cdot 1 ), a quantidade original dobra, ou seja, V0 = k V0 Rightarrow k = 1 . Vamos usar isso para descobrir :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora que encontramos V(t) = V0 + V0 t = V0 (1 + t) , substituímos na equação do volume:
V(5) = V0 (1 + 5) = 6 V0
Queremos saber o volume em cinco dias ( ):

Resposta

A quantidade existente em cinco dias será .

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