Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em cinco dias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala que uma substância cresce numa taxa proporcional ao seu volume inicial. Isso significa que a forma como ela cresce está ligada diretamente ao quanto ela já tem no começo. A gente sabe também que a quantidade original dobra em um dia. Nosso objetivo é descobrir quanto vamos ter dessa substância depois de cinco dias. Para resolver, vamos precisar usar um pouquinho de matemática envolvendo taxas de variação e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que significa que a taxa de crescimento é proporcional ao volume inicial. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Aqui,
representa a taxa de variação do volume em relação ao tempo,
é uma constante de proporcionalidade e
é o volume inicial da substância.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
, que é o volume da substância em qualquer tempo
. Para isso, integramos ambos os lados da equação:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que no tempo
, o volume é
, então:
Portanto, a equação fica:
Passo 4
Sabemos também que em um dia (
), a quantidade original dobra, ou seja,
. Vamos usar isso para descobrir
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora que encontramos
, substituímos na equação do volume:
Queremos saber o volume em cinco dias (
):
Resposta
A quantidade existente em cinco dias será
.