(1,5) Seja R a região limitada pelas funções y=sen x, y=-sen x, e as retas x=0 e x=pi.
Encontre a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da região $ R $ que está limitada pelas funções $ y = \sin x $, $ y = -\sin x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = \pi $. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como essas funções e retas se comportam no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = \pi $. A função $ \sin x $ é uma onda que sobe até 1 em $ \pi/2 $ e desce de volta a 0 em $ \pi $. Já $ y = -\sin x $ é apenas o reflexo da $ \sin x $ em relação ao eixo x, ou seja, vai de 0 até -1 em $ \pi/2 $ e volta a 0 em $ \pi $. As retas $ x = 0 $ e $ x = \pi $ são as bordas laterais do nosso intervalo.

Passo 3

A região $ R $ é simétrica em relação ao eixo x porque temos $ y = \sin x $ e $ y = -\sin x $. Isso significa que a área acima do eixo x é igual à área abaixo dele. Então, podemos calcular apenas a área acima do eixo x e depois dobrar o resultado para obter a área total.

Passo 4

Para calcular a área acima do eixo x, usamos a integral definida da função $ y = \sin x $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \pi $. A integral definida nos dá a área sob a curva entre esses dois pontos. Matematicamente, fica assim:
y = sin x Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de $ \sin x $ é $ -\cos x $. Então:
sin x
Agora, aplicamos os limites de integração:
-cos x

Passo 6

Como a área abaixo do eixo x é igual à área acima, a área total da região $ R $ é o dobro desse valor:
R Á

Resposta

A área da região $ R $ é igual a $ 4 $ unidades quadradas.

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