Considere um aro na forma de um quarto de círculo de raio R , uniformemente carregado com densidade de carga (+\lambda) posicionado no terceiro quadrante de um sistema de eixos cartesianos.
Em termos dos unitários iej, calcule o campo elétrico no ponto P que está na origem do sistema de coordenadas. (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
O problema pede o campo elétrico no ponto P (a origem) devido a um aro em forma de quarto de círculo de raio R, carregado uniformemente com densidade linear de carga +\lambda. Informações relevantes dadas:
O arco está no terceiro quadrante, ou seja seus pontos têm coordenadas com x<0 e y<0.
O ponto onde queremos o campo é a origem do sistema de eixos.
O arco tem raio R e densidade linear \lambda (constante).
Devemos dar o resultado em termos dos vetores unitários \mathbf{i} e \mathbf{j}.
Assumo (como é usual nesse tipo de questão) que o arco faz parte de um círculo de raio R centrado na origem, ocupando os ângulos \theta=\pi até \theta=3\pi/2 (isto corresponde ao terceiro quadrante, do ponto (-R,0) até (0,-R)).
Passo 2
Vamos parametrizar o arco por um ângulo \theta. Tomamos a expressão da posição de um elemento de carga sobre o arco:
Explico rapidamente: em coordenadas polares um pequeno arco de ângulo d\theta tem comprimento dl=R\,d\theta, e multiplicando por \lambda obtemos dq.
Passo 3
Escrevemos a contribuição diferencial do campo elétrico devido a dq usando a lei de Coulomb (forma vetorial para elemento de carga):
d\mathbf{E} = k\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, r é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o campo e \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do elemento de carga para o ponto de observação. Aqui o ponto de observação é a origem, então o vetor que liga a carga ao ponto é
Comentário intuitivo: cargas positivas no terceiro quadrante repelem uma carga teste positiva na origem, empurrando-a em direção ao primeiro quadrante, por isso as componentes finais do campo serão positivas em x e y.
Passo 4
Agora integramos as componentes de d\mathbf{E} ao longo do arco, com \theta de \pi a 3\pi/2:
Isto diz que o campo no centro é igual em x e y, apontando para o primeiro quadrante, com magnitude \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}R}\sqrt{2} (caso queira a magnitude).