Questão - (Valor:
ponto) Um capacitor de placas paralelas e quadradas com lado 1 é preenchido com um material dielétrico de maneira que sua capacitância seja multiplicada por um fator
. Caso não houvesse material dielétrico disponível e só fosse possível alterar as dimensões das placas, por qual fator deveria ser multiplicado o lado das placas para que a capacitância fosse a desejada?
(a)
(b)
(c) 2
(d) 4
(e) 8
(a)
(b)
(c) 2
(d) 4
(e) 8
Passo 1
O enunciado pede: se um capacitor de placas paralelas e quadradas com lado
tem sua capacitância multiplicada por um fator
quando preenchido por um dielétrico, e não há dielétrico disponível, por qual fator devemos multiplicar o lado das placas para obter a mesma capacitância apenas alterando as dimensões das placas? As alternativas são: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
. Dados relevantes: lado inicial
, fator desejado para a capacitância
.
Passo 2
Relembrando a fórmula básica do capacitor de placas paralelas:
Expliquei o que cada símbolo significa:
-
é a capacitância (o que queremos aumentar). -
é a permissividade do meio entre as placas; no vácuo (ou ar) e com dielétrico , onde é a constante dielétrica. -
é a área efetiva das placas. -
é a separação entre as placas (aqui assumimos que fica constante, pois o enunciado só permite alterar dimensões das placas).
Passo 3
Como as placas são quadradas de lado
, a área é
No estado inicial (lado
) e sem dielétrico a capacitância é
Passo 4
Com o dielétrico de constante
a capacitância seria multiplicada por
, isto é
Esse é o valor alvo que queremos reproduzir sem usar dielétrico.
Passo 5
Agora suponha que, sem dielétrico, aumentamos o lado das placas por um fator
. O novo lado será
e a nova área será
A nova capacitância (ainda no vácuo) será
Passo 6
Queremos que
. Substituindo as expressões:
Cancelando
(positivo e não nulo) obtemos
Passo 7
Resolvendo a equação
e escolhendo a solução positiva (fator de escala positivo para comprimento):
Ou seja, devemos dobrar o lado das placas.
Passo 8
Cheque rápido numérico (pra ficar tranquilo): se dobramos o lado para
, a área passa de
para
, então
, que é exatamente o aumento obtido com
. Perfeito — missão cumprida!
Resposta
(c)