\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão - (Valor: \mathbf{1 , 0} ponto) Um capacitor de placas paralelas e quadradas com lado 1 é preenchido com um material dielétrico de maneira que sua capacitância seja multiplicada por um fator
\kappa=4,0. Caso não houvesse material dielétrico disponível e só fosse possível alterar as dimensões das placas, por qual fator deveria ser multiplicado o lado das placas para que a capacitância fosse a desejada?
(a) 1 / 4
(b) 1 / 2
(c) 2
(d) 4
(e) 8

Passo 1

O enunciado pede: se um capacitor de placas paralelas e quadradas com lado 1 tem sua capacitância multiplicada por um fator \kappa=4,0 quando preenchido por um dielétrico, e não há dielétrico disponível, por qual fator devemos multiplicar o lado das placas para obter a mesma capacitância apenas alterando as dimensões das placas? As alternativas são: (a) 1/4, (b) 1/2, (c) 2, (d) 4, (e) 8. Dados relevantes: lado inicial =1, fator desejado para a capacitância \kappa=4.

Passo 2

Relembrando a fórmula básica do capacitor de placas paralelas:
C = \varepsilon \frac{A}{d}
Expliquei o que cada símbolo significa:
  • C é a capacitância (o que queremos aumentar).
  • \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas; no vácuo (ou ar) \varepsilon=\varepsilon_0 e com dielétrico \varepsilon=\kappa \varepsilon_0, onde \kappa é a constante dielétrica.
  • A é a área efetiva das placas.
  • d é a separação entre as placas (aqui assumimos que d fica constante, pois o enunciado só permite alterar dimensões das placas).

Passo 3

Como as placas são quadradas de lado s, a área é
A = s^2.
No estado inicial (lado 1) e sem dielétrico a capacitância é
C_0 = \varepsilon_0\frac{1^2}{d} = \varepsilon_0\frac{1}{d}.

Passo 4

Com o dielétrico de constante \kappa=4 a capacitância seria multiplicada por \kappa, isto é
C_{\text{diel}} = \kappa C_0 = 4 C_0.
Esse é o valor alvo que queremos reproduzir sem usar dielétrico.

Passo 5

Agora suponha que, sem dielétrico, aumentamos o lado das placas por um fator f. O novo lado será s = f\cdot 1 = f e a nova área será
A_{\text{new}} = f^2.
A nova capacitância (ainda no vácuo) será
C_{\text{new}} = \varepsilon_0\frac{f^2}{d} = f^2 C_0.

Passo 6

Queremos que C_{\text{new}} = C_{\text{diel}}. Substituindo as expressões:
f^2 C_0 = 4 C_0.
Cancelando C_0 (positivo e não nulo) obtemos
f^2 = 4.

Passo 7

Resolvendo a equação f^2=4 e escolhendo a solução positiva (fator de escala positivo para comprimento):
f = 2.
Ou seja, devemos dobrar o lado das placas.

Passo 8

Cheque rápido numérico (pra ficar tranquilo): se dobramos o lado para 2, a área passa de 1 para 4, então C_{\text{new}}=\varepsilon_0\frac{4}{d}=4C_0, que é exatamente o aumento obtido com \kappa=4. Perfeito — missão cumprida!

Resposta

(c) 2

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